一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”.(1)请你举例说明:“希望数”一定存在.(2)请你证明:如果
题型:解答题难度:一般来源:不详
一个自然数a,若将其数字重新排列可得一个新的自然数b.如果a恰是b的3倍,我们称a是一个“希望数”. (1)请你举例说明:“希望数”一定存在. (2)请你证明:如果a,b都是“希望数”,则ab一定是729的倍数. |
答案
(1)∵428571=3×142857, ∴428571是一个“希望数”. (2)∵a为“希望数”,依“希望数”定义知,存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和. ∵a=3p和a为3的倍数,但a的数字和等于P的数字和, ∴由整除判别法,知p为3的倍数, ∴p=3m,(m为正整数), ∴a=3×p=3×3m=9m, ∴a被9整除. ∵a的数字和等于p的数字和, ∴由被9整除的判别法可知p能被9整除,即p=9k(k为整数), ∴p=3a=3×9k=27k ∴a是27的倍数. ∴“希望数”一定能被27整除. ∵a,b都是“希望数”, ∴a,b都是27的倍数,即a=27n1,b=27n2(n1,n2为正整数). ∴ab=(27n1)(27n2) =(27×27)(n1×n2) =729n1n2. ∴ab一定是729的倍数. |
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