在一个三位数的百位数字与十位数字之间插入0，1，2，…，9中的一个数码得到的四位数恰是原三位数的9倍，求这样的三位数中最小的数与最大的数分别是多少？

题型：解答题难度：一般来源：不详

在一个三位数的百位数字与十位数字之间插入0，1，2，…，9中的一个数码得到的四位数恰是原三位数的9倍，求这样的三位数中最小的数与最大的数分别是多少？

答案

设原来的三位数为

.

abc

，百位与十位之间插入的数字为x，插入后得到的四位数记

.

axbc

，则有

.

axbc

=9•

.

abc

且a≠0．
即1000a+100x+10b+c=9（100a+10b+c），整理得100a+100x=80b+8c．（*）
所以8c是10的倍数，即c=0或c=5．（4分）
1当c=0时，（*）变为100a+100x=80b2，即10（a+x）=8b3，
所以8b是10的倍数，解得b=0或b=5．
若b=0，则有10（a+x）=0，那么a=x=0，这与a≠0矛盾；
若b=5，则有10（a+x）=8×5，a+x=4，而a≠0，所以a=1，2，3，4，
所以当c=0时，最大的三位数为450，最小的三位数为150．（7分）
4当c=5时，（*）变为100a+100x=80b+405，即10（a+x）=8b+46，
所以8b+4是10的倍数，因此b=2或b=7．
若b=2，则有10（a+x）=8×2+4，即a+x=2，又a≠0，所以a=1，2；
若b=7，则有10（a+x）=8×7+4，即a+x=6．又a≠0，所以a=1，2，3，4，5，6．
从而当c=5时，最小的三位数是125，最大的三位数是675．（9分）
由①，②可知，满足题意的最小三位数是125，最大三位数是675．（10分）