是否存在一个三位数.abc（a，b，c取从1到9的自然数），使得.abc+.bca+.cab为完全平方数？

题型：解答题难度：一般来源：不详

是否存在一个三位数

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abc

（a，b，c取从1到9的自然数），使得

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abc

+

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bca

+

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cab

为完全平方数？

答案

假设存在，根据题意得

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abc

+

.

bca

+

.

cab

=100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b=111（a+b+c），
∵111=3×37，
而3、37是质数，
∴a+b+c的和中必有因数3和37，
又a，b，c取从1到9的自然数，
∴0≤a+b+c≤27，
∴a+b+c中不含因数37，
∴

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abc

+

.

bca

+

.

cab

不是完全平方数．
故这样的三位数不存在．