一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差,则称这个自然数为“智慧数”,比如16=52-32,故16是一个“智慧数”,在自然数列中,从1开始起,第1990个
题型:填空题难度:简单来源:不详
一个非零自然数若能表示为两个非零自然数的平方差,则称这个自然数为“智慧数”,比如16=52-32,故16是一个“智慧数”,在自然数列中,从1开始起,第1990个“智慧数”是______. |
答案
设这两个数分别m、n, 设m>n, 即智慧数=m2-n2=(m+n)(m-n), 又∵mn是非0的自然数, ∴m+n和m-n就是两个自然数, 要判断一个数是否是智慧数,可以把这个数分解因数,分解成两个整数的积,看这两个数能否写成两个非0自然数的和与差. (k+1)2-k2=2k+1,(k+1)2-(k-1)2=4k,每个大于1的奇数与每个大于4且是4的倍数的数都是智慧数,而被4除余数为2的偶数都不是智慧数,最小智慧数为3,从5开始,智慧数是5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20…即2个奇数,1个4的倍数,3个一组依次排列下去. 显然1不是“智慧数”,而大于1的奇数2k+1=(k+1)2-k2,都是“智慧数”. 因为:4k=(k+1)2-(k-1)2,所以大于4且能被4整除的数都是“智慧数”而4不是“智慧数”,由于x2-y2=(x+y)×(x-y)(其中x、y∈N),当x,y奇偶性相同时,(x+y)×(x-y)被4整除.当x,y奇偶性相异时,(x+y)*(x-y)为奇数,所以形如4k+2的数不是“智慧数”在自然数列中前四个自然数中只有3是“智慧数”.此后每连续四个数中有三个“智慧数”. 由于1989=3×663, 所以4×664=2656是第1990个“智慧数”. 故答案为:2656. |
举一反三
计算:(1-)(1-)…(1-)(1-)=______ |
计算:(10++0.001)2-(0.01+-10)2=______. |
P是线段AB上的一点,AB=1,以AP和BP为边分别作两个正方形,当这两个正方形的面积的差的绝对值为时,AP的长是( ) |
计算6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1的值 |
某学校改造一个边长为5x米的正方形花坛,经规划后,南北向要缩短3米,东西向要加长3米,则改造后花坛的面积是______平方米,改造后花坛的面积减少了______平方米. |
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