若对于任意n个连续正整数中,总存在一个数的数字之和是8的倍数.试确定n的最小值.并说明理由.
题型:解答题难度:一般来源:不详
若对于任意n个连续正整数中,总存在一个数的数字之和是8的倍数.试确定n的最小值.并说明理由. |
答案
先证n≤14时,题设的性质不成立. 当N=14时,对于9999993,9999994,…,10000006这14个连续整数,任意一个数的数字之和均不能被8整除. 故n≤14时,题设的性质不成立. 因此,要使题设的性质成立,应有n≥15. 再证n=15时,题设的性质成立. 设a1,a2,…,a15为任意的连续15个正整数,则这15个正整数中,个位数字为0的整数最多有两个,最少有一个,可以分为: (1)当a1,a2,…,a15中个位数字为0的整数有两个时, 设ai<aj,且ai、aj的个位数字为0,则满足ai,ai+1,…,ai+9,aj为连续的11个整数,其中ai,ai+1,…,ai+9,aj无进位. 设ni表示ai各位数字之和,则前10个数各位数字之和分别为ni,ni+1,…,ni+9. 故这连续的10个数中至少有一个被8整除. (2)当a1,a2,…,a15中个位数字为0的整数有一个时(记为ai), ①若整数i满足1≤i≤8时,则在ai后面至少有7个连续整数,于是ai,ai+1,…,ai+7这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数,所以,必有一个数能被8整除. ②若整数i满足9≤i≤15时,则在ai前面至少有8个连续整数,不妨设ai-8,ai-7,…,ai-1这8个连续整数的个位数字之和也为8个连续整数,所以,必有一个数能被8整除. 综上,对于任意15个连续整数中,必有一个数,其各位数字之和是8的倍数. 而小于15个的任意连续整数不成立此性质. ∴n的最小值是15. |
举一反三
设实数a,b,c,d,e满足(a+c)(a+d)=(b+c)(b+d)=e≠O,且a≠b,那么(a+c)(b+c)-(a+d)(b+d)=( ) |
已知整数a,b,c使等式(x+a)(x+b)+c(x-10)=(x-11)(x+1)对任意x的值均成立.求c的值. |
已知4x2-3x+1=a(x-1)2+b(x-1)+c对任意数x成立,则4a+2b+c=______ |
Assume that a,b,c,d are integers,and four equations (a-2b)x=1,(b-3c)y=1,(c-4d)z=1,w+100=d have always solutions x,y,z,w of positive numbers respectively,then the minimum of a is ______. (英汉词典:to assume假设;integer整数;equation方程;solutions (方程的)解;positive正的;respectively分别地;minimum最小值)! |
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