观察以下式子：12→1+12+1=23＞12，54→5+24+2=76＜54，35→3+55+5=45＞35，72→7+32+3=2＜72．请你猜想，将一个正分

题型：解答题难度：一般来源：不详

观察以下式子：

1

2

→

1+1

2+1

=

2

3

＞

1

2

，

5

4

→

5+2

4+2

=

7

6

＜

5

4

，

3

5

→

3+5

5+5

=

4

5

＞

3

5

，

7

2

→

7+3

2+3

=2＜

7

2

．请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数的变化情况，并证明你的结论．

答案

猜想：当一个分数的分子小于分母时，分子与分母同加上一个正数后所得的分数大于原来的分数，
当一个分数的分子大于分母时，分子与分母同加上一个正数后所得的分数小于原来的分数，
即设一个分数

b

a

（a、b均是正数）和一个正数m，
则

b

a

（a＞b）→

b+m

a+m

＞

b

a

，

b

a

（a＜b）→

b+m

a+m

＜

b

a

，
理由是：

b+m

a+m

-

b

a

=

a(b+m)-b(a+m)

a(a+m)

=

m(a-b)

a(a+m)

，
由于a、b、m均是正数，
所以当a＞b，即a-b＞0时，

b+m

a+m

-

b

a

＞0，
即

b+m

a+m

＞

b

a

，
当a＜b，即a-b＜0时，

b+m

a+m

-

b

a

＜0，
即

b+m

a+m

＜

b

a

．