已知a1+a+ab+b1+b+bc+c1+c+ca=1,求证:abc=1.

已知a1+a+ab+b1+b+bc+c1+c+ca=1,求证:abc=1.

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知
a
1+a+ab
+
b
1+b+bc
+
c
1+c+ca
=1
,求证:abc=1.
答案
设abc=k,ab+a+1=u,bc+b+1=v,ac+c+1=w,
两边分别乘以c,a,b得:
abc+ca+c=cu,代入abc=k并根据ac+c+1=w得到:k-1+w=cu…(1)
abc+ab+a=av,代入abc=k并根据ab+a+1=u得到:k-1+u=av…(2)
abc+bc+b=bw,代入abc=k并根据bc+b+1=v得到:k-1+v=bw…(3)
已知:
a
u
+
b
v
+
c
w
=1,两边同乘以uvw得:avw+buw+cuv=uvw
(1)两边乘以v;(2)两边乘以w;(3)两边乘以u相加可得:
(k-1)(u+v+w)+uv+vw+uw=avw+buw+cuv=uvw…(4)
(1)×(2)×(3)三式得:(k-1+u)(k-1+v)(k-1+w)=abcuvw=kuvw,
∴(k-1)3+(u+v+w)(k-1)2+(uv+vw+uw)(k-1)-uvw(k-1)=0,
(k-1)[(k-1)2+(u+v+w)(k-1)+(uv+vw+uw)-uvw]=0,
与(4)比较可得:(k-1)3=0,
∴k=1,
即:abc=1.
举一反三
若a、b、c都是正数,且
a+b
c
 =
b+c
a
=
c+a
b
,那么分式
(a+b)(b+c)(c+a)
abc
的值为(  )
A.8B.8或-1C.2或-1D.8或-1
题型:单选题难度:一般| 查看答案
If  x,y and z are positive numbers such that 2x2-6y2+z2=0,6x2-2y2-z2=0,then the value of
x2-xz+z2
x2+yz+y2
is______. (positive numbers:正数;the value:值)
题型:填空题难度:一般| 查看答案
如果实数a≠b,且
10a+b
10b+a
=
a+1
b+1
,那么a+b的值等于______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
如果a+
1
b
=1
b+
2
c
=1
,那么c+
2
a
等于(  )
A.1B.2C.3D.4
题型:单选题难度:简单| 查看答案
若a、b是两个数,且
1
a
-
1
b
=1
,则
a+2ab-b
a-2ab-b
等于(  )
A.-
1
3
B.-3C.
1
3
D.3
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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