观察下列各式及验证过程：12-13=1223，验证12-13=12×3=222×3=1223；12(13-14)=1338，验证12(13-14)=12×3×4

题型：解答题难度：一般来源：不详

观察下列各式及验证过程：

1 2 - 1 3

=

1

2

2 3

，验证

1 2 - 1 3

=

1 2×3

=

2 22×3

=

1

2

2 3

；

1 2 ( 1 3 - 1 4 )

=

1

3

3 8

，验证

1 2 ( 1 3 - 1 4 )

=

1 2×3×4

=

3 2×32×4

=

1

3

3 8

1 3 ( 1 4 - 1 5 )

=

1

4

4 15

，验证

1 3 ( 1 4 - 1 5 )

=

1 3×4×5

=

4 3×42×5

=

1

4

4 15

（1）按照上述三个等式及其验证过程中的基本思想，猜想

1 4 ( 1 5 - 1 6 )

的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为任意的自然数，且n≥2）表示的等式，并给出证明．

答案

（1）

1 4 ( 1 5 - 1 6 )

=

1

5

5 24

验证：

1 4 ( 1 5 - 1 6 )

=

1 4×5×6

=

5 4×52×6

=

1

5

5 24

；
（2）

1 n ( 1 n+1 - 1 n+2 )

=

1

n+1

n+1 (n+1)2-1

或

1 n ( 1 n+1 - 1 n+2 )

=

1

n+1

n+1 n•(n+2)

验证：

1 n ( 1 n+1 - 1 n+2 )

=

1 n(n+1)(n+2)

=

n+1 n(n+1)2(n+2)

=

1

n+1

n+1 n(n+2)

．