已知关于x的方程7x3-7（p+2）x2+（44p-1）x+2=60p（*）①求证：不论p为何实数时，方程（*）有固定的自然数解，并求这自然数．②设方程另外的两
题型：解答题难度：一般来源：不详
已知关于x的方程7x3-7（p+2）x2+（44p-1）x+2=60p（*）
①求证：不论p为何实数时，方程（*）有固定的自然数解，并求这自然数．
②设方程另外的两个根为u、v，求u、v的关系式．
③若方程（*）的三个根均为自然数，求p的值． |
答案
①原方程整理得：（7x3-14x2-x+2）-（7x2-44x+60）p=0
解方程7x2-44x+60=0得x1=2，x2=，
当x=2时，7x3-14x2-x+2=0，故所求自然数为2；
②∵x=2是方程的固定解，
∴（x-2）是方程的一个因式，原方程分解为，
（x-2）（7x2-7px+30p-1）=0
∴u、v是方程7x2-7px+30p-1=0的两根，
∴u+v=p，uv=．
③由②可知，当p=18时，方程三个根均为自然数． |
举一反三
| 已知关于x的方程x2+mx+2m-n=0根的判别式的值为0，1为方程的根．求m、n的值． |
| 若α为锐角，且sinα是方程2x2+3x-2=0的一个根，则cosα=（ ） |
已知关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由；
（3）若此方程的两个实数根的平方和为30，求实数k． |
方程x(x+1)(x-)=0的根是（ ）| A．x1=0，x2=-1，x3= | B．x1=0，x2=1，x3=- | | C．x1=0，x2=-1，x3=- | D．x1=0，x2=1，x3= |
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