设a，b，c为互不相等的非零实数，求证：方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根．
题型：解答题难度：一般来源：不详
| 设a，b，c为互不相等的非零实数，求证：方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根． |
答案
证明：假设题中的三个方程都有两个相等的实数根，不妨设这三个方程的根的判别式为△1，△2，△3，
则有 | | △1=4b2-4ac=0 ① | | △2=4c2-4ab=0 ② | | △3=4a2-4bc=0 ③ |
| |
．
由①+②+③得：a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，
有2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0，
即（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0，
∴a=b=c，这与已知a，b，c为互不相等的非零实数矛盾，
故题中的三个方程不可能都有两个相等的实数根． |
举一反三
| 已知a、b、c都是正整数，且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B，若A、B到原点的距离都小于1，求a+b+c的最小值． |
| 如果关于x的一元二次方程：mx2+x+1=0（m为常数）有两个实数根，那么m的取值范围是______． |
| 已知m，n为整数，方程x2+(n-2)x+m+18=0有两个不相等的实数根，方程x2+(n-6)x+m-37=0有两个相等的实数根．求n的最小值，并说明理由． |
| 若方程x2-4x+m=0有两个实数根，则m的取值范围是______． |
| 对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v．若关于x的方程x*（a*x）=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是______． |
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