设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根.

设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根.

题型:解答题难度:一般来源:不详
设a,b,c为互不相等的非零实数,求证:方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0不可能都有两个相等的实数根.
答案
证明:假设题中的三个方程都有两个相等的实数根,不妨设这三个方程的根的判别式为△1,△2,△3
则有





1=4b2-4ac=0 ①
2=4c2-4ab=0 ②
3=4a2-4bc=0 ③

由①+②+③得:a2+b2+c2-ab-ac-bc=0,
有2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0,
即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,
∴a=b=c,这与已知a,b,c为互不相等的非零实数矛盾,
故题中的三个方程不可能都有两个相等的实数根.
举一反三
已知a、b、c都是正整数,且抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点A、B,若A、B到原点的距离都小于1,求a+b+c的最小值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
如果关于x的一元二次方程:mx2+x+1=0(m为常数)有两个实数根,那么m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知m,n为整数,方程x2+(n-2)


n-1
x+m+18=0
有两个不相等的实数根,方程x2+(n-6)


n-1
x+m-37=0
有两个相等的实数根.求n的最小值,并说明理由.
题型:不详难度:| 查看答案
若方程x2-4x+m=0有两个实数根,则m的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
对于实数u,v,定义一种运算“*”为:u*v=uv+v.若关于x的方程x*(a*x)=-
1
4
有两个不同的实数根,则满足条件的实数a的取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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