a、b为实数,关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不等的实数根.(1)求证:a2-4b-8=0;(2)若该方程的三个不等实根,恰为一个三角形三内角的度数,求
题型:解答题难度:一般来源:不详
a、b为实数,关于x的方程|x2+ax+b|=2有三个不等的实数根. (1)求证:a2-4b-8=0; (2)若该方程的三个不等实根,恰为一个三角形三内角的度数,求证:该三角形必有一个内角60°; (3)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边,求a和b的值. |
答案
证明:(1)由原方程得:x2+ax+b-2=0①,x2+ax+b+2=0②, 两方程的判别式分别为:△1=a2-4b+8,△2=a2-4b-8, ∵原方程有三个根,∴方程①,②中有一个方程有两个不等实数根,另一个方程有两个相等实数根, 即△1,△2中必有一个大于0,一个等于0,比较△1,△2,显然△1>△2, ∴△1>0,△2=0, 即a2-4b-8=0;
(2)设方程①的两根为x1,x2,方程②的根为x3,则x1+x2+x3=180°, ∵x1+x2=-a,x3=-, ∴x1+x2+x3=-a=180°, ∴a=-120°, ∴x3=-=60°. 故该三角形中有一个内角为60°;
(3)方程①中的两根x1,x2必有一个大于方程②中的x3,而另一个小于x3, ∴可以设x1>x3>x2,则由已知得:x12-x22=x32,即(x1+x2)(x1-x2)=x32. ∴-a•=(-)2 整理得:a2+4a=0 由(1)有:a2-4b=8代入上式得:a2+16a=0, ∴a1=0,a2=-16. 当a=0时,x3=0,这与题目中方程的根是直角三角形的边矛盾, ∴a=-16. 把a=-16代入a2-4b-8=0中,得b=62. 故a=-16,b=62. |
举一反三
设方程gxg+ax-g=0的两根之差的绝对值为,则a等于( ) |
已知a•b≠1,且有5a2+2009a+8=0及8b2+2009b+5=0,则=______. |
若关于x的一元二次方程的两根为x1=1,x九=-九,则这十方程可以是______.(任写一十即可) |
已知△ABC的一边为5,另外两边恰是方程x2-6x+m=0的两个根. (1)求实数m的取值范围. (2)当m取最大值时,求△ABC的面积. |
方程x2-3x+7=0的两根为x1,x2,则下列表示正确的是( )A.x1+x2=3,x1x2=7 | B.x1+x2=-3,x1x2=7 | C.x1+x2=-3,x1x2=-7 | D.以上全不对 |
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