在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边c=5,两直角边的长a,b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根,求Rt△ABC中较小锐角的正弦值.
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在Rt△ABC中,∠C=90°,斜边c=5,两直角边的长a,b是关于x的一元二次方程x2-mx+2m-2=0的两个根,求Rt△ABC中较小锐角的正弦值. |
答案
∵a,b是方程x2-mx+2m-2=0的解, ∴a+b=m,ab=2m-2, 在Rt△ABC中,由勾股定理得,a2+b2=c2, 而a2+b2=(a+b)2-2ab,c=5, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=25, 即:m2-2(2m-2)=25 解得,m1=7,m2=-3, ∵a,b是Rt△ABC的两条直角边的长. ∴a+b=m>0,m=-3不合题意,舍去. ∴m=7, 当m=7时,原方程为x2-7x+12=0, 解得,x1=3,x2=4, 不妨设a=3,则sinA==, ∴Rt△ABC中较小锐角的正弦值为. |
举一反三
已知关于x的方程x2-2(m-1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根. (1)求实数m的取值范围; (2)已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边,∠C=90°,且tanB=,c-b=4,若方程的两个实数根的平方和等于△ABC的斜边c的平方,求m的值. |
已知一元二次方程2x2-3x+1=0的两根为a、b,则+=______. |
设a,b为两个不相等的实数,且满足a2-5a=b2-5b=1,则ab3+a3b的值是______. |
若方程3x2-5x+1=0的两根为x1,x2,则x12+x22=______. |
阅读材料:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,那么有x1+x2=-,x1x2=,这是一元二次方程根与系数的关系.据此材料解答以下问题: 若关于x的方程x2-6x+k=0有两个实数根. (1)求k的取值范围; (2)若x1,x2是方程x2-6x+k=0的两根,且x12x22-x1-x2=115,求k的值. |
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