已知关于x的方程x2-2(m-1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边

已知关于x的方程x2-2(m-1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根.(1)求实数m的取值范围;(2)已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边

题型:乐山难度:来源:
已知关于x的方程x2-2(m-1)x+m2-3=0有两个不相等的实数根.
(1)求实数m的取值范围;
(2)已知a、b、c分别是△ABC的内角∠A、∠B、∠C的对边,∠C=90°,且tanB=
3
4
,c-b=4,若方程的两个实数根的平方和等于△ABC的斜边c的平方,求m的值.
答案
(1)△=4(m-1)2-4(m2-3)=-8m+16,
∵方程有两个不相等的实数根,
∴△>0,
即-8m+16>0,
解得m<2,
∴实数m的取值范围是m<2;

(2)在△ABC中,∠C=90°,tanB=
3
4

b
a
=
3
4

设b=3k,a=4k,
c=


9k2+16k2
=5k,
又∵c-b=4,
∴5k-3k=2k=4,
解得k=2,
∴c=10.
不妨设原方程的两根为x1,x2
由根与系数的关系得x1+x2=2(m-1),
x1x2=m2-3,
∴x12+x22=(x1+x22-2x1x2=4(m-1)2-2(m2-3)
=2m2-8m+10,
由已知有:x12+x22=102
∴2m2-8m+10=102=100,
解这个方程得m1=-5,m2=9,
又∵方程有两个不相等实数根,
必须满足m<2,
∴m=-5.
举一反三
已知一元二次方程2x2-3x+1=0的两根为a、b,则
1
a
+
1
b
=______.
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设a,b为两个不相等的实数,且满足a2-5a=b2-5b=1,则ab3+a3b的值是______.
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若方程3x2-5x+1=0的两根为x1,x2,则x12+x22=______.
题型:不详难度:| 查看答案
阅读材料:如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,那么有x1+x2=-
b
a
x1x2=
c
a
,这是一元二次方程根与系数的关系.据此材料解答以下问题:
若关于x的方程x2-6x+k=0有两个实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若x1,x2是方程x2-6x+k=0的两根,且x12x22-x1-x2=115,求k的值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知一个直角三角形的两直角边的长恰好是方程2x2-8x+7=0的两个根,求这个直角三角形的斜边长.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
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