实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1.求最大的实数k,使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立.

实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1.求最大的实数k,使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立.

题型:不详难度:来源:
实数a,b,c满足a≤b≤c,且ab+bc+ca=0,abc=1.求最大的实数k,使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立.
答案
不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a,b,c恒成立.由已知条件知,a,b,c都不等于0,且c>0.
因为abc=1,有ab=
1
c
>0;
又因为ab+bc+ca=0,
所以a+b=-
1
c2
<0,
所以a≤b<0.
由一元二次方程根与系数的关系知,a,b是一元二次方程x2+
1
c2
x+
1
c
=0的两个实数根,
于是△=
1
c4
-
4
c
≥0,
所以c3
1
4

因此|a+b|=-(a+b)=
1
c2
≥4c=4|c|,不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a,b,c恒成立,
所以k≤4,最大的实数k为4.
举一反三
m,n是一元二次方程ax2+bx+a=0(a≠0)的两根,则以
m2
n
n2
m
为两根的是(  )
A.a3x2+(3a2-b2)bx+a3=0B.a3x2-(3a2-b2)bx+a3=0
C.a3x2-(a2-3b2)bx+a3=0D.a3x2+(a2-3b2)bx+a3=0
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若方程x2+(m2-1)x+m=0的两根互为相反数,则m=______.
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如果实数a,b满足a2-8a-4=0,b2-8b-4=0,则
b
a
+
a
b
的值为______.
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已知:四边形ABCD中,ABCD,且AB、CD的长是关于x的方程x2-2mx+(m-
1
2
2+
7
4
=0的两个根.
(1)当m=2和m>2时,四边形ABCD分别是哪种四边形并说明理由.
(2)若M、N分别是AD、BC的中点,线段MN分别交AC、BD于点P、Q,PQ=1,且AB<CD,求AB、CD的长;
(3)在(2)的条件下,AD=BC=2,求一个一元二次方程,使它的两个根分别是tan∠BDC和tan∠BCD.
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若关于x的一元二次方程3x2+3(a+b)x+4ab=0的两个实数根满足关系式:x1(x1+1)+x2(x2+1)=(x1+1)(x2+1),判断(a+b)2≤4是否正确?
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