实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1．求最大的实数k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立．

题型：不详难度：来源：

实数a，b，c满足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1．求最大的实数k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立．

答案

不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a，b，c恒成立．由已知条件知，a，b，c都不等于0，且c＞0．
因为abc=1，有ab=

1

c

＞0；
又因为ab+bc+ca=0，
所以a+b=-

1

c2

＜0，
所以a≤b＜0．
由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是一元二次方程x²+

1

c2

x+

1

c

=0的两个实数根，
于是△=

1

c4

-

4

c

≥0，
所以c³≤

1

4

．
因此|a+b|=-（a+b）=

1

c2

≥4c=4|c|，不等式|a+b|≥4|c|对满足题设条件的实数a，b，c恒成立，
所以k≤4，最大的实数k为4．