如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1分别与两坐标轴交于B,A两点,C为该直线上的一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动,作等边△CDE
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如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+1分别与两坐标轴交于B,A两点,C为该直线上的一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动,作等边△CDE
题型:不详
难度:
来源:
如图,在平面直角坐标系中,直线y=
x+1分别与两坐标轴交于B,A两点,C为该直线上的一动点,以每秒1个单位长度的速度从点A开始沿直线BA向上移动,作等边△CDE,点D和点E都在x轴上,以点C为顶点的抛物线y=a(x﹣m)
2
+n经过点E.⊙M与x轴、直线AB都相切,其半径为3(1﹣
)a.
(1)求点A的坐标和∠ABO的度数;
(2)当点C与点A重合时,求a的值;
(3)点C移动多少秒时,等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切?
答案
(1)A的坐标是(0,1),∠ABO=30°;(2)﹣3;(3)4秒
解析
试题分析:(1)已知直线AB的解析式,令解析式的x=0,能得到A点坐标;令y=0,能得到B点坐标;在Rt△OAB中,知道OA、OB的长,用正切函数即可得到∠ABO的读数.
(2)当C、A重合时,就告诉了点C的坐标,然后结合OC的长以及等边三角形的特性求出OD、OE的长,即可得到D、E的坐标,利用待定系数即可确定a的值.
(3)此题需要结合图形来解,首先画出第一次相切时的示意图(详见解答图);已知的条件只有圆的半径,那么先连接圆心与三个切点以及点E,首先能判断出四边形CPMN是正方形,那么CP与⊙M的半径相等,只要再求出PE就能进一步求得C点坐标;那么可以从PE=EQ,即Rt△MEP入手,首先∠CED=60°,而∠MEP=∠MEQ,易求得这两个角的度数,通过解直角三角形不难得到PE的长,即可求出PE及点C、E的坐标.然后利用C、E的坐标确定a的值,进而可求出AC的长,由此得解.
(1)当x=0时,y=1;当y=0时,x=-
,
∴OA=1,OB=
,
∴A的坐标是(0,1)
∠ABO=30°.
(2)∵△CDE为等边△,点A(0,1),
∴D的坐标是(
,0),E的坐标是(
,0),
把点A(0,1),D(
,0),E(
,0),代入 y=a(x-m)
2
+n,
解得:a=-3.
(3)如图,设切点分别是Q,N,P,连接MQ,MN,MP,ME,过点C作CH⊥x轴,H为垂足,过A作AF⊥CH,F为垂足.
∵△CDE是等边三角形,∠ABO=30°
∴∠BCE=90°,∠ECN=90°
∵CE,AB分别与⊙M相切,∴∠MPC=∠CNM=90°,∴四边形MPCN为矩形,∵MP=MN
∴四边形MPCN为正方形
∴MP=MN=CP=CN=3(1-
)a(a<0).
∵EC和x轴都与⊙M相切,∴EP=EQ.
∵∠NBQ+∠NMQ=180°,∴∠PMQ=60°
∴∠EMQ=30°,∴在Rt△MEP中,tan30°=
,∴PE=(
-3)a
∴CE=CP+PE=3(1-
)a+(
-3)a=-2
a
∴DH=HE=-
a,CH=-3a,BH=-3
a,
∴OH=-3
a-
,OE=-4
a-
∴E(-4
a-
,0)
∴C(-3
a-
,-3a)
设二次函数的解析式为:y=a(x+3
a+
)
2
-3a
∵E在该抛物线上
∴a(-4
a-
+3
a+
)
2
-3a=0
得:a
2
=1,解之得a
1
=1,a
2
=-1
∵a<0,∴a=-1
∴AF=2
,CF=2,∴AC=4
∴点C移动到4秒时,等边△CDE的边CE第一次与⊙M相切.
点评:本题难度在于涉及到动点问题,许多数值都不是具体值;(3)题中,正确画出草图、贯彻数形结合的解题思想是关键.
举一反三
某电器经营业主计划购进一批型号相同的挂式空调和电风扇。若购进8台空调和20台电风扇,需要资金17400元;若购进10台空调和30台电风扇,需要资金22500元。
①求挂式空调和电风扇每台的采购价是多少元?
②该经营业主计划购进这两种电器共70台,而用于购买这两种电器的资金不超过30000元。根据市场行情,销售一台这样的空调可获利200元,销售这样的一台电风扇可获利30元,该业主希望这两种电器销售完时,所获得利润不少于3500元。该业主有哪几种进货方案?哪种方案获利最大?最大利润是多少元?
题型:不详
难度:
|
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若点A(
,
),B(
,
)在上述一次函数的图象上,且
,试比较
、
的大小,并说明理由。
题型:不详
难度:
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已知正比例函数
(
k
≠0),点(2,-3)在函数图象上,则
y
随
x
的增大而
(填“增大”或“减小”).
题型:不详
难度:
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如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板
ABC
放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点
C
坐标为(-1,0),
.一次函数
的图象经过点
B
、
C
,反比例函数
的图象经过点B.
(1)求一次函数和反比例函数的关系式;
(2)直接写出当
x
<0时,
的解集;
(3)在
轴上找一点
M
,使得
AM
+
BM
的值最小,并求出点
M
的坐标和
AM
+
BM
的最小值.
题型:不详
难度:
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甲、乙两车从
A
地将一批物品匀速运往
B
地,甲出发0.5h后乙开始出发,结果比甲早1h到达
B
地.甲车离
A
地的路程
s
1
(km)与行驶的时间
t
(h)之间的函数关系,如图中线段
OP
所示;乙车离
A
地的路程
s
2
(km)与行驶的时间
t
(h)之间的函数关系,如图中线段
MN
所示,
a
表示
A
、
B
两地之间的距离.请结合图中的信息解决如下问题:
(1)分别求出线段
MN
、
OP
的函数关系式;
(2)求出
a
的值;
(3)设甲、乙两车之间的距离为
s
(km),求
s
与甲车行驶时间
t
(h)的函数关系式,并求出
s
的最大值.
题型:不详
难度:
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