如图,甲、乙两人分别从A(1,)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶,th后,甲到达M点,乙到达N点.
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如图,甲、乙两人分别从A(1,)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶,th后,甲到达M点,乙到达N点.
题型:不详
难度:
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如图,甲、乙两人分别从A(1,
)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶,th后,甲到达M点,乙到达N点.
(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行.
(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?
(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长,设s=MN
2
,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值.
答案
解:(1)∵A坐标为(1,
),∴OA=2,∠AOB=60°。
∵甲达到O点时间为t=
,乙达到O点的时间为t=
,
∴甲先到达O点,所以t=
或t=
时,O、M、N三点不能连接成三角形。
①当t<
时,OM=2-4t,ON=6-4t,
假设MN∥AB。则△OMN∽△OAB。
∴
,解得t=0。即在甲到达O点前,只有当t=0时,△OMN∽△OAB。
∴MN与AB不可能平行。
②当
<t<
时,
如图,
∵∠PMN>∠PON>∠PAB
∴MN与AB不平行。
综上所述,在甲、乙两人到达O点前, MN与AB不可能平行。
(2) 由(1)知,当t≤
时,△OMN不相似△OBA。
当t>
时,OM=4t -2,ON=4t -6,
由
解得t=2>
,
∴当t=2时,△OMN∽△OBA。
(3)①当t≤
时,如图1,过点M作MH⊥x轴,垂足为H,
在Rt△MOH中,∵∠AOB=60°,
∴MH=OMsin60°=(2-4t)×
=
(1-2t),
OH=0Mcos60°=(2-4t)×
=1-2t,
∴NH=(6-4t)-(1-2t)=5-2t。
∴s=[
(1-2t)]
2
+(5-2t)
2
=16t
2
-32t+28。
②当
<t≤
时,如图2,作MH⊥x轴,垂足为H,
在Rt△MNH中,MH=
(4t-2)=
(2t-1),
NH=
(4t-2)+(6-4t)=5-2t,
∴s=[
(1-2t)]2+(5-2t)2=16t
2
-32t+28。
③当t>
时,同理可得s=16t
2
-32t+28。
综上所述,s=16t
2
-32t+28。
∵s=16t
2
-32t+28=16(t-1)
2
+12,
∴当t=1时,s有最小值为12,
∴甲、乙两人距离最小值为
(km)。
解析
反证法,坐标与图形性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形外角性质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值。
(1)用反证法说明.根据已知条件分别表示相关线段的长度,根据三角形相似得比例式说明。
(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答。
(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式,运用函数性质解答问题。
举一反三
若点
(2, 4)在函数
的图象上,则下列各点也在此函数图象上的是
A.(0,-2)
B.(1.5,0)
C.(8,20)
D.(0.5,0.5)
题型:不详
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函数
(
)的图象不经过
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
题型:不详
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已知一次函数
和
的图像交于
(-2,0)且与
轴的交点分别为
、
两点,那么△
的面积是 _________.
题型:不详
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小强骑自行车去郊游,如图表示他离家的距离
(千米)与所用的时间
(小时)之间关系的函数图象,小强9点离开家,15点回家.
根据这个图象,请你回答下列问题:
(1)小强到离家最远的地方需几小时?此时离家多远?
(2)何时开始第一次休息?休息时间多长?
(3)小强返回家时,何时距家21㎞?(写出计算过程).
题型:不详
难度:
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(1)甲乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是
,从点燃到燃尽所用的时间分别是
;
(2)分别求出甲、乙两根蜡烛燃烧时
与
之间的函数关系式;
(3)当
为何值时,甲、乙两根蜡烛在燃烧的过程中的高度相等?
题型:不详
难度:
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