设关于x一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2,我们称函数y=m(a1x+b1)+n(a2x+b2)(其中m+n=1)为这两个函数的生成函数.(1)请你任意
题型:湖北省期末题难度:来源:
设关于x一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2,我们称函数y=m(a1x+b1)+n(a2x+b2)(其中m+n=1)为这两个函数的生成函数. (1)请你任意写出一个y=x+1与y=3x﹣1的生成函数的解析式; (2)当x=c时,求y=x+c与y=3x﹣c的生成函数的函数值; (3)若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P(a,5),当a1b1=a2b2=1时,求代数式m(a12a2+b12)+n(a22a2+b22)+2ma+2na的值. |
答案
解:(1)答案不唯一.比如取m=2时,n=﹣1.生成函数为y=2(x+1)﹣(3x﹣1)=﹣x+3,即y=﹣x+3. (2)当x=c时,y=m(x+c)+n(3x﹣c)=2c(m+n). ∵m+n=1, ∴y=2c(m+n)=2c. (3)∵点 P (a,5)在y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象上, ∴a1a+b1=5,a2a+b2=5. ∴a12a2+b12=( a1a+b1)2﹣2 aa1b1=52﹣2 aa1b1,a22a2+b22=(a2a+b2)2﹣2aa2b2=52﹣2aa2b2.当 a1b1=a2b2=1时, m(a12a2+b12)+n (a22a2+b22)+2ma+2na=m (52﹣2a )+n(52﹣2a)+2ma+2na=25(m+n). ∵m+n=1, ∴m(a12a2+b12)+n(a22a2+b22)+2ma+2na=25(m+n)=25. |
举一反三
已知四边形OABC是边长为4的正方形,分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴,建立如图1所示的平面直角坐标系,直线l经过A、C两点。 (1)求直线l的函数表达式; (2)若P是直线l上的一个动点,请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标; (3)如图2,若点D是OC的中点,E是直线l上的一个动点,求使OE+DE取得最小值时点E的坐标。 |
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已知A(﹣1,0),B(0,﹣3),点C与点A关于坐标原点对称,经过点C的直线与y轴交于点D,与直线AB交于点E,且E点在第二象限. (1)求直线AB的解析式; (2)若点D(0,1),过点B作BF⊥CD于F,连接BC,求∠DBF的度数及△BCE的面积; (3)若点G(G不与C重合)是动直线CD上一点,且BG=BA,试探究∠ABG与∠ACE之间满足的等量关系,并加以证明. |
若直线y经过点(﹣1,3 )、( 2,5 ),则直线y的解析式为:y= _________ . |
如图,直线m在坐标系中的图象经过点A(0,5)、C( 3,0),直线n经过点A和(﹣3,1)交x轴于点B. (1)直线m的解析式为:y= _________ ; (2)点B的坐标为( _________ , _________ ); (3)求△ABC的面积. |
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