一次函数y=ax+b的图像分别与x轴、y轴交于点M、N,与反比例函数y=的图像相交于点A、B,过点A分别作AC⊥x轴,AE⊥y轴,垂足分别为C、E;过点B分别作BF⊥x轴,BD⊥y轴,垂足分别为F、D,AC与BD交于点K,连接CD。
证明:(1)①∵AC⊥x轴,AE⊥y轴,
∴四边形AEOC为矩形,
∵BF⊥x轴,BD⊥y轴,
∴四边形BDOF为矩形,
∵AC⊥x轴,BD⊥y轴,
∴四边形AEDK,四边形DOCK,四边形CFBK均为矩形,
∵OC=x1,AC=y1,x1·y1=k,
∴S矩形AEOC=OC·AC=x1·y1=k,
∵OF=x2,FB=y2,x2·y2=k,
∴S矩形BDOF=OF·FB=x2·y2=k,
∴S矩形AEOC=S矩形BDOF,
∵S矩形AEDK=S矩形AEOC-S矩形DOCK,S矩形CFBK=S矩形BDOF-S矩形DOCK,
∴S矩形AEDK=S矩形CFBK;
②由(1)知S矩形AEDK=S矩形CFBK,
∴AK·DK=BK·CK,即,
∵∠AKB=∠CKD=90°,
∴△AKB∽△CKD,
∴∠CDK=∠ABK,
∴AB//CD,
∵AC//y轴,
∴四边形ACDN是平行四边形,
∴AN=CD,同理BM=CD,
∴AN=BM;
(2)AN与BM仍然相等;
∵S矩形AEDK=S矩形AEOC+S矩形ODKC,S矩形BKCF=S矩形BDOF+S矩形ODKC,
又∵S矩形AEOC=S矩形BDOF=k,
∴S矩形AEDK=S矩形BKCF,
∴AK·DK=BK·CK,
∴,
∵∠K=∠K,
∴△CDK∽△ABK,
∴∠CDK=∠ABK,
∴AB//CD,
∵AC//y轴,
∴四边形ANDC是平行四边形,
∴AN=CD,同理BM=CD,
∴AN=BM。
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