如图，矩形ABCD（点A在第一象限）与x轴的正半轴相交于M，与y的负半轴相交于N，AB∥x轴，反比例函数的图象y=kx过A、C两点，直线AC与x轴相交于点E、与

题型：不详难度：来源：

如图，矩形ABCD（点A在第一象限）与x轴的正半轴相交于M，与y的负半轴相交于N，AB∥x轴，反比例函数的图象y=

k

x

过A、C两点，直线AC与x轴相交于点E、与y轴相交于点F．
（1）若B（-3，3），直线AC的解析式为y=ax+b．
①求a的值；
②连接OA、OC，若△OAC的面积记为S_△OAC，△ABC的面积记为S_△ABC，记S=S_△ABC-S_△OAC，问S是否存在最小值？若存在，求出其最小值；若不存在，请说明理由．
（2）AE与CF是否相等？请证明你的结论．

答案

（1）①∵四边形ABCD是矩形，且AB∥x轴，B（-3，3），
∴A（

k

3

，3）、C（-3，-

k

3

）．
∵y=ax+b经过A、C两点，
∴

k 3 a+b=3 -3a+b=- k 3

，消去b得：（

k

3

+3）a=

k

3

+3．
∵k＞0，故

k

3

+3≠0，∴a=1．
②S=S_△ABC-S_△OAC=S_△ACD-S_△OAC=S_△AOM+S_△CON+S_矩形ONDM，
∴S=

k

2

+

k

2

+

k2

9

=

1

9

（k+

9

2

）²-

9

4

；
∴当k＞-

9

2

时，S随k的增大而增大，
由于k＞0，故k没有最小值，S也没有最小值．

（2）AE=CF，理由如下：
连接MN，设AB与y轴的交点为P，BC与x轴的交点为Q；
则S_矩形APOM=S_矩形CQON=k，
∴DN•AD=DM•CD，即

DN

CD

=

DM

AD

，
又∵∠D=∠D，
∴△DNM∽△DCA，得∠DNM=∠DCA，
∴MN∥AC；
又∵AD∥y轴，故四边形AFNM是平行四边形，
同理四边形CNME是平行四边形，
∴CE=MN=AF，故AE=CF．