试题分析:(1)已知了C点的坐标,即可得到OC的长,根据∠OAC的正切值即可求出OA的长,由此可得到A点的坐标,将A、C的坐标代入抛物线中,即可确定该二次函数的解析式; (2)根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程,由此可得到点P的横坐标;若∠APC=90°,则∠PAE和∠CPD是同角的余角,因此两角相等,则它们的正切值也相等,由此可求出线段PE的长,即可得到点P点的坐标;(用相似三角形求解亦可) (3)根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式,已知了点M的横坐标为t,根据直线BC和抛物线的解析式,即可用t表示出M、N的纵坐标,由此可求得MN的长,以MN为底,B点横坐标的绝对值为高,即可求出△BNC的面积(或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和),由此可得到关于S(△BNC的面积)、t的函数关系式,根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值. 试题解析:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,2), ∴c=2; 又∵tan∠OAC==2, ∴OA=1,即A(1,0); 又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上, ∴0=12+b×1+2,b=-3; ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2; (2)存在. 过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
∴x=-; ∴AE=OE-OA=, ∵∠APC=90°, ∴tan∠PAE=tan∠CPD, ∴,即, 解得PE=或PE=, ∴点P的坐标为(,)或(,). (3)如图所示,易得直线BC的解析式为:y=-x+2,
∵点M是直线l′和线段BC的交点, ∴M点的坐标为(t,-t+2)(0<t<2), ∴MN=-t+2-(t2-3t+2)=-t2+2t, ∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=MN·t+MN·(2-t), =MN·(t+2-t)=MN=-t2+2t(0<t<2), ∴S△BCN=-t2+2t=-(t-1)2+1, ∴当t=1时,S△BCN的最大值为1. |