某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：销售单价x（元/件）…55

题型：不详难度：来源：

某商家独家销售具有地方特色的某种商品，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x（x≥50）元/件的关系如下表：

销售单价x （元/件）	…	55	60	70	75	…
一周的销售量y （件）	…	450	400	300	250	…

（1）直接写出y与x的函数关系式：．
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价在什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）雅安地震牵动亿万人民的心，商家决定将商品一周的销售利润全部寄往灾区，在商家购进该商品的贷款不超过10000元情况下，请你求出该商家最大捐款数额是多少元？

答案

（1）y=-10x+1000
（2）当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大
（3）8750元

解析

（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式；
（2）根据利润=（售价-进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；
（3）根据购进该商品的贷款不超过10000元，求出进货量，然后求最大销售额即可．
解：（1）设y=kx+b，
由题意得，

解得：

则函数关系式为：y=-10x+1000；
（2）由题意得，S=（x-40）y
=（x-40）（-10x+1000）
=-10x²+1400x-40000
=-10（x-70）²+9000，
∵-10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为x=70，
∴当50≤x≤70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）由40（-10x+1000）≤10000
解得x≥75
∴当x=75时，利润最大，为8750元．

举一反三

如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）上．

（1）求抛物线的解析式．
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．
（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）

题型：不详难度：| 查看答案

如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．

（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；
（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．
①AE=EF是否总成立？请给出证明；
②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=-x²+x+1上，求此时点F的坐标．

题型：不详难度：| 查看答案

如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6．现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以每秒1个单位长的速度由点A向点D做匀速运动，点Q沿折线CB—BA向点A做匀速运动．
（1）点P将要运行路径AD的长度为；点Q将要运行的路径折线CB—BA的长度为 .
（2）当点Q在BA边上运动时，若点Q的速度为每秒2个单位长，设运动时间为t秒．
①求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并求自变量t的取范围；
②求当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（3）如图2，若点Q的速度为每秒a个单位长（a≤