如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交

如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交

题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2,0),点B坐标为(0,2),点E为线段AB上的动点(点E不与点A,B重合),以E为顶点作∠OET=45°,射线ET交线段OB于点F,C为y轴正半轴上一点,且OC=AB,抛物线y=x2+mx+n的图象经过A,C两点.

(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)求证:∠BEF=∠AOE;
(3)当△EOF为等腰三角形时,求此时点E的坐标;
(4)在(3)的条件下,当直线EF交x轴于点D,P为(1)中抛物线上一动点,直线PE交x轴于点G,在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P,使得△EPF的面积是△EDG面积的()倍.若存在,请直接写出点P坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)y=-x2-x+2;(2)证明见解析;(3)(-1, 1),(-, 2-);(4)P(0, 2)或P(-1,2
解析

试题分析:(1)首先求出点C的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(2)利用三角形外角性质,易证∠BEF=∠AOE;
(3)当△EOF为等腰三角形时,有三种情况,需要分类讨论,注意不要漏解;
(4)本问关键是利用已知条件求得点P的纵坐标,要点是将△EPF与△EDG的面积之比转化为线段之比.如图④所示,首先证明点E为DF的中点,然后作x轴的平行线FN,则△EDG≌△EFN,从而将△EPF与△EDG的面积之比转化为PE:NE;过点P作x轴垂线,可依次求出线段PT、PM的长度,从而求得点P的纵坐标;最后解一元二次方程,确定点P的坐标.
试题解析:(1) 如答图①, ∵A(-2,0)B(0,2)
∴OA="OB=2" ∴AB2=OA2+OB2=22+22=8∴AB=2∵OC=AB∴OC=2, 即C (0,2
又∵抛物线y=-x2+mx+n的图象经过A、C两点 则可得解得:
∴抛物线的表达式为y=-x2-x+2
(2) ∵OA=OB ∠AOB=90° ∴∠BAO=∠ABO=45°
又∵∠BEO=∠BAO+∠AOE=45°+∠AOE
∠BEO=∠OEF+∠BEF=45°+∠BEF ∴∠BEF=∠AOE
(3) 当△EOF为等腰三角形时,分三种情况讨论
①当OE=OF时, ∠OFE=∠OEF=45°
在△EOF中, ∠EOF=180°-∠OEF-∠OFE=180°-45°-45°=90°
又∵∠AOB=90°
则此时点E与点A重合, 不符合题意, 此种情况不成立.
②如答图②, 当FE=FO时,
∠EOF=∠OEF=45°
在△EOF中,∠EFO=180°-∠OEF-∠EOF=180°-45°-45°=90°
∴∠AOF+∠EFO=90°+90°=180°∴EF∥AO ∴ ∠BEF=∠BAO=45° 又∵ 由 (2) 可知 ,∠ABO=45°∴∠BEF=∠ABO ∴BF=EF∴EF=BF=OF=OB=×2=1 ∴ E(-1, 1)
③如答图③, 当EO=EF时, 过点E作EH⊥y轴于点H 在△AOE和△BEF中,
∠EAO=∠FBE, EO=EF, ∠AOE=∠BEF ∴△AOE≌△BEF ∴BE=AO=2
∵EH⊥OB ∴∠EHB=90°∴∠AOB=∠EHB ∴EH∥AO ∴∠BEH=∠BAO=45°
在Rt△BEH中, ∵∠BEH=∠ABO=45° ∴EH=BH=BEcos45°=2×=
∴OH="OB-BH=2-" ∴ E(-, 2-)
综上所述, 当△EOF为等腰三角形时, 所求E点坐标为E(-1, 1)或E(-, 2- )
(4) P(0, 2)或P (-1, 2

考点: 二次函数综合题.
举一反三
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象所示,若∣ax2+bx+c∣=k(k≠0)有两个不相等的实数根,则k的取值范围是(      )
A.k<﹣3B.k>﹣3C.k<3D.k>3

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如图所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形OABC的边长OA、OC分别为12cm、6cm,点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上,抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,且18a+c=0.

(1)求抛物线的解析式.
(2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向终点B移动,同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向终点C移动.
①移动开始后第t秒时,设△PBQ的面积为S,试写出S与t之间的函数关系式,并写出t的取值范围.
②当S取得最大值时,在抛物线上是否存在点R,使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出R点的坐标;如果不存在,请说明理由.
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如图,已知:正方形ABCD边长为1,E、F、G、H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小正方形EFGH的面积为s,AE为x,则s关于x的函数图象大致是(  )
A.B.C.D.

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如图,一段抛物线:y=-x(x-3)(0≤x≤3),记为C1,它与x轴交于点O,A1

将C1绕点A1旋转180°得C2,交x轴于点A2
将C2绕点A2旋转180°得C3,交x轴于点A3

如此进行下去,直至得C13.若P(37,m)在第13段抛物线C13上,则m=(     ).
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已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,给出以下结论:①b2>4ac;②abc>0;③2a-b=0;④8a+c<0;⑤9a+3b+c<0,其中结论正确的是 (     ).(填正确结论的序号)

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