试题分析:(1)首先求得m的值和直线的解析式,根据抛物线对称性得到B点坐标,根据A、B点坐标利用交点式求得抛物线的解析式; (2)确定何时△ACP的周长最小.利用轴对称的性质和两点之间线段最短的原理解决;确定P点坐标P(1,3),从而直线M1M2的解析式可以表示为y=kx+3-k; (3)存在, 设Q(x,-x2+x+)①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE,得x=5.2,②若A为直角顶点,则由△ACO相似于△AQE,得x=8.2从而求出Q点坐标. (4)利用两点间的距离公式,分别求得线段M1M2、M1P和M2P的长度,相互比较即可得到结论:为定值. 试题解析:(1)∵y=x+m经过点(-3,0), ∴0=−+m,解得m=, ∴直线解析式为y=x+,C(0,). ∵抛物线y=ax2+bx+c对称轴为x=1,且与x轴交于A(-3,0),∴另一交点为B(5,0), 设抛物线解析式为y=a(x+3)(x-5), ∵抛物线经过C(0,), ∴=a•3(-5),解得a=−, ∴抛物线解析式为y=−x2+x+; (2)要使△ACP的周长最小,只需AP+CP最小即可.如图2,
连接BC交x=1于P点,因为点A、B关于x=1对称,根据轴对称性质以及两点之间线段最短,可知此时AP+CP最小(AP+CP最小值为线段BC的长度). ∵B(5,0),C(0,), ∴直线BC解析式为y=−x+, ∵xP=1,∴yP=3,即P(1,3). (3) (3)存在 设Q(x, −x2+x+) ①若C为直角顶点, 则由△ACO相似于△CQE,得x=5.2 ②若A为直角顶点,则由△ACO相似于△AQE,得x=8.2 ∴Q的横坐标为5.2 ,7.2 (4)令经过点P(1,3)的直线为y=kx+b,则k+b=3,即b=3-k, 则直线的解析式是:y=kx+3-k, ∵y=kx+3-k,y=−x2+x+, 联立化简得:x2+(4k-2)x-4k-3=0, ∴x1+x2=2-4k,x1x2=-4k-3. ∵y1=kx1+3-k,y2=kx2+3-k,∴y1-y2=k(x1-x2). 根据两点间距离公式得到:
∴=4(1+k2). 又 ; 同理 ∴
=4(1+k2). ∴M1P•M2P=M1M2, ∴为定值. 考点: 二次函数综合题. |