试题分析:(1)设出抛物线的顶点形式为y=a(x-1)2+4,将A坐标代入求出a的值,即可确定出抛物线解析式; (2)存在,设出P(a,-a2+2a+3),直线AB解析式为y=kx+b,将A与B坐标代入求出k与b的值,确定出直线AB解析式,根据三角形ABP面积为三角形ABC面积的一半,由两三角形都以AB为底边,得到C到直线AB的距离为P到直线AB距离的2倍,利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,即可确定出满足题意P的坐标. 试题解析:(1)设抛物线的顶点形式为y=a(x-1)2+4, 将A(3,0)代入得:0=4a+4,即a=-1, 则抛物线解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3; (2)存在这样的P点, 设P(a,-a2+2a+3), 设直线AB解析式为y=kx+b, 将A(3,0),B(0,3)代入得: , 解得:, ∴直线AB解析式为y=-x+3, ∵S△ABP=S△ABC,且两三角形都以AB为底边, ∴P到直线AB的距离等于C到直线AB距离的, ∵C(1,4)到直线AB的距离d=, ∴P到直线AB的距离d=, 即|-a2+3a|=1, 整理得:a2-3a-1=0或a2-3a+1=0, 解得:a=或a= 当a=时,-a2+2a+3=-; 当a=时,-a2+2a+3=-; 当a=时,-a2+2a+3=-; 当a=时,-a2+2a+3=-. 则满足题意的P坐标为(,)、(,);(,); (,). 考点: 1.待定系数法求二次函数解析式;2.二次函数的性质. |