试题分析:(1)连接O′C,由CD是⊙O的切线,可得O′C⊥CD,则可证得O′C∥AD,又由O′A=O′C,则可证得∠CAD=∠CAB; (2)①首先证得△CAO∽△BCO,根据相似三角形的对应边成比例,可得OC2=OA•OB,又由tan∠CAO=tan∠CAD=,则可求得CO,AO,BO的长,然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式; ②首先证得△FO′C∽△FAD,由相似三角形的对应边成比例,即可得到F的坐标,求得直线DC的解析式,然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案; ③根据题意分别从PA∥BC与PB∥AC去分析求解即可求得答案,小心漏解. 试题解析:(1)证明:连接O′C,
∵CD是⊙O′的切线, ∴O′C⊥CD, ∵AD⊥CD, ∴O′C∥AD, ∴∠O′CA=∠CAD, ∵O′A=O′C, ∴∠CAB=∠O′CA, ∴∠CAD=∠CAB; (2)解:①∵AB是⊙O′的直径, ∴∠ACB=90°, ∵OC⊥AB, ∴∠CAB=∠OCB, ∴△CAO∽△BCO, ∴, 即OC2=OA•OB, ∵tan∠CAO=tan∠CAD=, ∴AO=2CO, 又∵AB=10, ∴OC2=2CO(10-2CO), 解得CO1=4,CO2=0(舍去), ∴CO=4,AO=8,BO=2 ∵CO>0, ∴CO=4,AO=8,BO=2, ∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4), ∵抛物线y=ax2+bx+c过点A,B,C三点, ∴c=4, 由题意得: , 解得:, ∴抛物线的解析式为:y=-x2-x+4; ②设直线DC交x轴于点F, ∴△AOC≌△ADC, ∴AD=AO=8, ∵O′C∥AD, ∴△FO′C∽△FAD, ∴, ∴O′F•AD=O′C•AF, ∴8(BF+5)=5(BF+10), ∴BF=,F(,0); 设直线DC的解析式为y=kx+m, 则, 解得:, ∴直线DC的解析式为y=-x+4, 由y=-x2-x+4=-(x+3)2+得顶点E的坐标为(-3,), 将E(-3,)代入直线DC的解析式y=--x+4中, 右边=-×(-3)+4==左边, ∴抛物线顶点E在直线CD上; (3)存在,P1(-10,-6),P2(10,-36). ①∵A(-8,0),C(0,4), ∴过A、C两点的直线解析式为y=x+4, 设过点B且与直线AC平行的直线解析式为:y=x+b,把B(2,0)代入得b=-1, ∴直线PB的解析式为y=x-1, ∴, 解得,(舍去), ∴P1(-10,-6). ②求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线, 可求出BC解析式,进而求出与之平行的直线的解析式, 与求P1同法,可求出x1=-8,y1=0(舍去);x2=10,y2=-36. ∴P2的坐标(10,-36). 考点: 二次函数综合题. |