试题分析: (1)把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值,即可得到抛物线解析式,再根据对称轴方程列式计算即可得解; (2)令y=0,解方程求出点A的坐标,令x=0求出y的值得到点C的坐标,再求出OA、OB、OC,然后根据对应边成比例,夹角相等的两个三角形相似证明; (3)设直线BC的解析式为y=kx+b,利用待定系数法求出解析式,再表示出MN,然后根据二次函数的最值问题解答; (4)利用勾股定理列式求出AC,过点C作CD⊥对称轴于D,然后分①AC=CQ时,利用勾股定理列式求出DQ,分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离,再写出点的坐标即可;②点Q为对称轴与x轴的交点时,AQ=CQ,再写出点Q的坐标即可. 试题解析: (1)∵点B(8,0)在抛物线y= x2+bx+4上, ∴ ×64+8b+4=0, 解得b= , ∴抛物线的解析式为y= x2+ x+4, 对称轴为直线x= ; (2)△AOC∽△COB. 理由如下:令y=0,则 x2+ x+4=0, 即x2-6x-16=0, 解得x1=-2,x2=8, ∴点A的坐标为(-2,0), 令x=0,则y=4, ∴点C的坐标为(0,4), ∴OA=2,OB=8,OC=4, ∵ =2,∠AOC=∠COB=90°, ∴△AOC∽△COB; (3)设直线BC的解析式为y=kx+b, 则 , 解得 , ∴直线BC的解析式为y= x+4, ∵MN∥y轴, ∴MN= x2+ x+4-( x+4), = x2+ x+4+ x-4, = x2+2x, = (x-4)2+4, ∴当x=4时,MN的值最大,最大值为4; (4)由勾股定理得,AC= , 过点C作CD⊥对称轴于D,则CD=3, ①AC=CQ时,DQ= , 点Q在点D的上方时,点Q到x轴的距离为4+ , 此时点Q1(3,4+ ), 点Q在点D的下方时,点Q到x轴的距离为4- , 此时点Q2(3,4- ), ②点Q为对称轴与x轴的交点时,AQ=5, CQ= , ∴AQ=CQ, 此时,点Q3(3,0), 综上所述,点Q的坐标为(3,4+ )或(3,4- )或(3,0)时,△ACQ为等腰三角形时. |