如图,已知抛物线与轴相交于A、B两点,与轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0).(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程;(2)连接AC、BC,试判断△AOC

如图,已知抛物线与轴相交于A、B两点,与轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0).(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程;(2)连接AC、BC,试判断△AOC

题型:不详难度:来源:
如图,已知抛物线轴相交于A、B两点,与轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0).

(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程;
(2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由;
(3)M为抛物线上BC之间的一点,N为线段BC上的一点,若MN∥轴,求MN的最大值;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)抛物线的解析式为y=x2+x+4,对称轴为直线x=3;
(2)△AOC∽△COB.理由见解析;
(3)4;
(4)Q1(3,4+),Q2(3,4-),Q3(3,0).
解析

试题分析:
(1)把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值,即可得到抛物线解析式,再根据对称轴方程列式计算即可得解;
(2)令y=0,解方程求出点A的坐标,令x=0求出y的值得到点C的坐标,再求出OA、OB、OC,然后根据对应边成比例,夹角相等的两个三角形相似证明;
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b,利用待定系数法求出解析式,再表示出MN,然后根据二次函数的最值问题解答;
(4)利用勾股定理列式求出AC,过点C作CD⊥对称轴于D,然后分①AC=CQ时,利用勾股定理列式求出DQ,分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离,再写出点的坐标即可;②点Q为对称轴与x轴的交点时,AQ=CQ,再写出点Q的坐标即可.
试题解析:
(1)∵点B(8,0)在抛物线y=x2+bx+4上,
×64+8b+4=0,
解得b=
∴抛物线的解析式为y=x2+x+4,
对称轴为直线x=
(2)△AOC∽△COB.
理由如下:令y=0,则x2+x+4=0,
即x2-6x-16=0,
解得x1=-2,x2=8,
∴点A的坐标为(-2,0),
令x=0,则y=4,
∴点C的坐标为(0,4),
∴OA=2,OB=8,OC=4,
=2,∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB;
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b,

解得
∴直线BC的解析式为y=x+4,
∵MN∥y轴,
∴MN=x2+x+4-(x+4),
=x2+x+4+x-4,
=x2+2x,
=(x-4)2+4,
∴当x=4时,MN的值最大,最大值为4;
(4)由勾股定理得,AC=
过点C作CD⊥对称轴于D,则CD=3,
①AC=CQ时,DQ=
点Q在点D的上方时,点Q到x轴的距离为4+
此时点Q1(3,4+),
点Q在点D的下方时,点Q到x轴的距离为4-
此时点Q2(3,4-),
②点Q为对称轴与x轴的交点时,AQ=5,
CQ=
∴AQ=CQ,
此时,点Q3(3,0),
综上所述,点Q的坐标为(3,4+)或(3,4-)或(3,0)时,△ACQ为等腰三角形时.
举一反三
将抛物线向右平移个单位,所得新抛物线的函数解析式是(     )
A.B.
C.D.

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在平面直角坐标系中,抛物线的顶点是点P,对称轴与x轴相交于点Q,以点P为圆心,PQ长为半径画⊙P,那么下列判断正确的是(    )
A.x轴与⊙P相离;B.x轴与⊙P相切;
C.y轴与⊙P与相切;D.y轴与⊙P相交.

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抛物线的对称轴是    
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二次函数的图像向下平移2个单位后经过点(1,3),那么     
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已知一个二次函数的图像经过点(4,1)和(,6).
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴.
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