如图所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;(2)在
题型:不详难度:来源:
如图所示,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2.
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式; (2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少?
|
答案
(1) y=x2-3x+2;(2)存在,理由见解析;(3)当t=1时,S△BCN的最大值为1. |
解析
试题分析:(1)已知了C点的坐标,即可得到OC的长,根据∠OAC的正切值即可求出OA的长,由此可得到A点的坐标,将A、C的坐标代入抛物线中,即可确定该二次函数的解析式; (2)根据抛物线的解析式即可确定其对称轴方程,由此可得到点P的横坐标;若∠APC=90°,则∠PAE和∠CPD是同角的余角,因此两角相等,则它们的正切值也相等,由此可求出线段PE的长,即可得到点P点的坐标;(用相似三角形求解亦可) (3)根据B、C的坐标易求得直线BC的解析式,已知了点M的横坐标为t,根据直线BC和抛物线的解析式,即可用t表示出M、N的纵坐标,由此可求得MN的长,以MN为底,B点横坐标的绝对值为高,即可求出△BNC的面积(或者理解为△BNC的面积是△CMN和△MNB的面积和),由此可得到关于S(△BNC的面积)、t的函数关系式,根据所得函数的性质即可求得S的最大值及对应的t的值. 试题解析::(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,2), ∴x=2; 又∵tan∠OAC==2, ∴OA=1,即A(1,0); 又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上, ∴0=12+b×1+2,b=-3; ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2; (2)存在. 过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示,
∴x=-; ∴AE=OE-OA= , ∵∠APC=90°, ∴tan∠PAE=tan∠CPD, ∴, 即 , 解得PE=或PE=, ∴点P的坐标为(,)或(,). (3)如图所示,易得直线BC的解析式为:y=-x+2,
∵点M是直线l′和线段BC的交点, ∴M点的坐标为(t,-t+2)(0<t<2), ∴MN=-t+2-(t2-3t+2)=-t2+2t, ∴S△BCN=S△MNC+S△MNB=MN▪t+MN▪(2-t)=MN▪(t+2-t)=MN=-t2+2t(0<t<2), ∴S△BCN=-t2+2t=-(t-1)2+1, ∴当t=1时,S△BCN的最大值为1. 考点: 二次函数综合题 |
举一反三
已知抛物线y=a-3x+1与x轴有交点,则a的取值范围是( ) |
将抛物线向右平移一个单位,所得函数解析式为 . |
当二次函数取最小值时,的值为 |
在平面直角坐标系中,直线和抛物线在第一象限交于点A,过A作轴于点.如果取1,2,3,…,n时对应的△的面积为,那么_____;_____.
|
已知抛物线与x轴相交于两点A(1,0),B(-3,0),与y轴相交于点C(0,3). (1)求此抛物线的函数表达式; (2)如果点是抛物线上的一点,求△ABD的面积. |
最新试题
热门考点