试题分析:(1)根据题意知B点坐标为(6,2); (2)①可设t秒后△OPQ的面积等于1,则有P( ,t)Q(2t,0),根据三角形的面积即可计算出t的值; ②要使△PQB为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°,进而利用勾股定理分别分析得出PB2=(6-t)2+(2-t)2,QB2=(6-2t)2+22,PQ2=(2t-t)2+t2=2t2,再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论,求出符合题意的t值即可; (3)存在这样的t值,若将△PQB绕某点旋转180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上,则旋转中心为PQ中点,此时四边形PBQB′为平行四边形,根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值. 试题解析:(1)根据题意知B点坐标为(6,2); (2)①设t秒后△OPQ的面积等于1,则有P( ,t)Q(2t,0),则有:
×t×2t=1 解得:t=1或-1(舍去) 故1秒后△OPQ的面积等于1 ②要使△PQB为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°. 如图1,作PG⊥OC于点G,在Rt△POG中,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019032633-76419.png) ∵∠POQ=45°,∴∠OPG=45°, ∵OP= t,∴OG=PG=t, ∴点P(t,t) 又∵Q(2t,0),B(6,2), 根据勾股定理可得:PB2=(6-t)2+(2-t)2,QB2=(6-2t)2+22,PQ2=(2t-t)2+t2=2t2, ①若∠PQB=90°,则有PQ2+BQ2=PB2, 即:2t2+[(6-2t)2+22]=(6-t)2+(2-t)2, 整理得:4t2-8t=0, 解得:t1=0(舍去),t2=2, ∴t=2, ②若∠PBQ=90°,则有PB2+QB2=PQ2, ∴[(6-t)2+(2-t)2]+[(6-2t)2+22]=2t2, 整理得:t2-10t+20=0, 解得:t=5± . ∴当t=2或t=5+ 或t=5- 时,△PQB为直角三角形. (3)存在这样的t值,理由如下: 将△PQB绕某点旋转180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上, 则旋转中心为PQ中点,此时四边形PBQB′为平行四边形. ∵PO=PQ,由P(t,t),Q(2t,0),知旋转中心坐标可表示为( t, t), ∵点B坐标为(6,2),∴点B′的坐标为(3t-6,t-2), 代入y=- (x-t)2+t,得:2t2-13t+18=0, 解得:t1= ,t2=2. 考点: 二次函数综合题. |