试题分析:(1)将A点坐标代入直线的解析式中,即可求得k的值,从而确定该直线的解析式;将A、C的坐标代入抛物线的解析式中,可求得m、n的值,从而确定抛物线的解析式. (2)根据(1)得到的抛物线解析式,可求得点B的坐标,根据P、Q的运动速度,可用t表示出BP、CQ的长,进而可得到AQ、AP的长,然后分三种情况讨论: ①∠APQ=90°,此时PQ∥OC,可得到△APQ∽△AOC,根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值; ②∠AQP=90°,亦可证得△APQ∽△ACO,同①的方法可求得此时t的值; ③∠PAQ=90°,显然这种情况是不成立的. (3)过D作y轴的平行线,交直线AC于F,设出点D的横坐标,根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标,进而可求得DF的长,以DF为底,A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式(或由△ADF、△CDF的面积和求得),由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系,根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标. 试题解析: ∵直线y=kx-3过点A(4,0),∴0=4k-3,解得k=. ∴直线的解析式为y=x-3. 由直线y=x-3与y轴交于点C,可知C(0,-3). ∴,解得m=. ∴抛物线解析式为 (2)对于抛物线, 令y=0,则,解得x1=1,x2=4. ∴B(1,0). ∴AB=3,AO=4,OC=3,AC=5,AP=3-t,AQ=5-2t. ①若∠Q1P1A=90°,则P1Q1∥OC(如图1),
∴△AP1Q1∽△AOC. ∴,∴.解得t=; ②若∠P2Q2A=90°,∵∠P2AQ2=∠OAC,∴△AP2Q2∽△AOC. ∴,∴.解得t=; 综上所述,当t的值为或时,以P、Q、A为顶点的三角形与△AOC相似. (3)答:存在. 过点D作DF⊥x轴,垂足为E,交AC于点F(如图2).
∴S△ADF=DF·AE,S△CDF=DF·OE. ∴S△ACD=S△ADF+S△CDF=DF×(AE+OE)=×4(DE+EF)=2×()=. ∴S△ACD=(0<x<4). 又0<2<4且二次项系数,∴当x=2时,S△ACD的面积最大. 而当x=2时,y=. ∴满足条件的D点坐标为D(2,). |