试题分析:(1)将A、B的坐标代入抛物线中,易求出抛物线的解析式;将C点横坐标代入抛物线的解析式中,即可求出C点的坐标,再由待定系数法可求出直线AC的解析式. (2)PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差,可设P点的横坐标为x,用x分别表示出P、E的纵坐标,即可得到关于PE的长、x的函数关系式,根据所得函数的性质即可求得PE的最大值. (3)此题要分两种情况:①以AC为边,②以AC为对角线.确定平行四边形后,可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标. 试题解析:解:(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+bx+c,得b=-2,c=-3; ∴y=x2-2x-3. 将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3,得y=-3, ∴C(2,-3); ∴直线AC的函数解析式是y=-x-1. (2)设P点的横坐标为x(-1≤x≤2), 则P、E的坐标分别为:P(x,-x-1),E(x,x2-2x-3); ∵P点在E点的上方,PE=(-x-1)-(x2-2x-3)=-x2+x+2, ∴当x=时,PE的最大值=. (3)存在4个这样的点F,分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+,0),F4(4-,0). ①如图,连接C与抛物线和y轴的交点, ∵C(2,-3),G(0,-3) ∴CG∥X轴,此时AF=CG=2, ∴F点的坐标是(-3,0);
②如图,AF=CG=2,A点的坐标为(-1,0),因此F点的坐标为(1,0);
③如图,此时C,G两点的纵坐标关于x轴对称,因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(1±,3),由于直线GF的斜率与直线AC的相同,因此可设直线GF的解析式为y=-x+h,将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+.因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+,0); ④如图,同③可求出F的坐标为(4-,0);
综合四种情况可得出,存在4个符合条件的F点 |