如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线经过A,B,C三点,顶点为F.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)求
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如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线经过A,B,C三点,顶点为F.(1)求A,B,C三点的坐标;(2)求
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如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线
经过A,B,C三点,顶点为F.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合),试探究:
①使得以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;
②若探究①中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF与⊙E的位置关系,并说明理由.
答案
解:(1)∵以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,
∴A(-2,0),B(8,0)。
如图所,连接CE,
在Rt△OCE中,
,CE=5,
由勾股定理得:
,
∴C(0,-4)。
(2)∵点A(-2,0),B(8,0)在抛物线上,
∴设抛物线的解析式为
。
∵点C(0,-4)在抛物线上,
∴
,解得
。
∴抛物线的解析式为:
,即
。
∵
。
∴顶点F的坐标为(3,
)。
(3)①∵△ABC中,底边AB上的高OC=4,
∴若△ABC与△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件:|y
M
|=4。
(I)若y
M
=4,则
,
整理得:
,解得
或
。
∴点M的坐标为(
,4)或(
,4)。
(II)若y
M
=-4,则
,
整理得:
,解得x=6或x=0(与点C重合,故舍去)。
∴点M的坐标为(6,-4)。
综上所述,满足条件的点M的坐标为:(
,4)或(
,4)或(6,-4)。
②直线MF与⊙E相切。理由如下:
由题意可知,M(6,-4)。
如图,连接EM,MF,过点M作MG⊥对称轴EF于点G,则MG=3,EG=4。
在Rt△MEG中,由勾股定理得:
,
∴点M在⊙E上。
由(2)知,F(3,
),∴EF=
。
∴
。
在Rt△MGF中,由勾股定理得:
,
在△EFM中,∵
,
∴△EFM为直角三角形,∠EMF=90°。
∵点M在⊙E上,且∠EMF=90°,
∴直线MF与⊙E相切。
解析
(1)由题意可直接得到点A、B的坐标,连接CE,在Rt△OCE中,利用勾股定理求出OC的长,则得到点C的坐标。
(2)已知点A、B、C的坐标,利用交点式与待定系数法求出抛物线的解析式,由解析式得到顶点F的坐标。
(3)①△ABC中,底边AB上的高OC=4,若△ABC与△ABM面积相等,则抛物线上的点M须满足条件:|yM|=4.因此解方程yM=4和yM=-4,可求得点M的坐标。
②如解答图,作辅助线,可求得EM=5,因此点M在⊙E上;再利用勾股定理求出MF的长度,则利用勾股定理的逆定理可判定△EMF为直角三角形,∠EMF=90°,所以直线MF与⊙E相切。
举一反三
已知二次函数
,当自变量x取m对应的函数值大于0,设自变量分别取m-3,m+3 时对应的函数值为y
1
,y
2
,则
A.y
1
>0,y
2
>0
B.y
1
>0,y
2
<0
C.y
1
<0,y
2
>0
D.y
1
<0,y
2
<0
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已知:抛物线C
1
:y=x
2
。如图(1),平移抛物线C
1
得到抛物线C
2
,C
2
经过C
1
的顶点O和A(2,0),C
2
的对称轴分别交C
1
、C
2
于点B、D。
(1)求抛物线C
2
的解析式;
(2)探究四边形ODAB的形状并证明你的结论;
(3)如图(2),将抛物线C
2
向下平移m个单位(m>0)得抛物线C
3
,C
3
的顶点为G,与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点,点P(
)在直线MG上。问:当m为何值时,在抛物线C
3
上存在点Q,使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?
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如图,已知抛物线y=ax
2
+bx﹣4经过A(﹣8,0),B(2,0)两点,直线x=﹣4交x轴于点C,交抛物线于点D.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)点P在抛物线上,点E在直线x=﹣4上,若以A,O,E,P为顶点的四边形是平行四边形,求点P的坐标;
(3)若B,D,C三点到同一条直线的距离分别是d
1
,d
2
,d
3
,问是否存在直线l,使
?若存在,请直接写出d
3
的值;若不存在,请说明理由.
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二次函数y=﹣x
2
+bx+c的图象如图所示:若点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)在此函数图象上,x
1
<x
2
<1,y
1
与y
2
的大小关系是
A.y
1
≤y
2
B.y
1
<y
2
C.y
1
≥y
2
D.y
1
>y
2
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如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线
(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y
2
=kx(k为常数,k>0)
(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A
,k=
;
(2)随着三角板的滑动,当a=
时:
①请你验证:抛物线
的顶点在函数
的图象上;
②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;
(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y
2
﹣y
1
|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y
2
﹣y
1
|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.
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