阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为(xp,yp).由xp﹣x1=x2﹣xp,得,
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阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点P的坐标为(xp,yp).由xp﹣x1=x2﹣xp,得,
题型:不详
难度:
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阅读材料:如图1,在平面直角坐标系中,A、B两点的坐标分别为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),AB中点P的坐标为(x
p
,y
p
).由x
p
﹣x
1
=x
2
﹣x
p
,得
,同理
,所以AB的中点坐标为
.由勾股定理得
,所以A、B两点间的距离公式为
.
注:上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立.
解答下列问题:
如图2,直线l:y=2x+2与抛物线y=2x
2
交于A、B两点,P为AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线于点C.
(1)求A、B两点的坐标及C点的坐标;
(2)连结AB、AC,求证△ABC为直角三角形;
(3)将直线l平移到C点时得到直线l′,求两直线l与l′的距离.
答案
解:(1)由
,解得:
。
∴A,B两点的坐标分别为:A(
,
),B(
,
)。
∵P是A,B的中点,由中点坐标公式得P点坐标为(
,3)。
又∵PC⊥x轴交抛物线于C点,将x=
代入y=2x
2
中得y=
,
∴C点坐标为(
,
)。
(2)证明:由两点间距离公式得:
,
,
∴PC=PA=PB。
∴∠PAC=∠PCA,∠PBC=∠PCB。
∴∠PAC+∠PCB=90°,即∠ACB=90°。∴△ABC为直角三角形。
(3)如图,过点C作CG⊥AB于G,过点A作AH⊥PC于H,
则H点的坐标为(
,
)。
∴
。
∴
。
又直线l与l′之间的距离等于点C到l的距离CG,∴直线l与l′之间的距离为
。
解析
(1)根据y=2x+2与抛物线y=2x
2
交于A、B两点,直接联立求出交点坐标,进而得出C点坐标即可;
(2)利用两点间距离公式得出AB的长,进而得出PC=PA=PB,求出∠PAC+∠PCB=90°,即∠ACB=90°即可得出答案。
(3)过点C作CG⊥AB于G,过点A作AH⊥PC于H,利用A,C点坐标得出H点坐标,进而得出CG=AH,求出即可。
举一反三
如图,已知二次函数
(m>0)的图象与x轴交于A、B两点.
(1)写出A、B两点的坐标(坐标用m表示);
(2)若二次函数图象的顶点P在以AB为直径的圆上,求二次函数的解析式;
(3)设以AB为直径的⊙M与y轴交于C、D两点,求CD的长.
题型:不详
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二次函数
的图象如图所示,对于下列结论:①a<0;②b<0;③c>0;④b+2a=0;⑤a+b+c<0.其中正确的个数是【 】
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
题型:不详
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如图,已知以E(3,0)为圆心,以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,抛物线
经过A,B,C三点,顶点为F.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求抛物线的解析式及顶点F的坐标;
(3)已知M为抛物线上一动点(不与C点重合),试探究:
①使得以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等,求所有符合条件的点M的坐标;
②若探究①中的M点位于第四象限,连接M点与抛物线顶点F,试判断直线MF与⊙E的位置关系,并说明理由.
题型:不详
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已知二次函数
,当自变量x取m对应的函数值大于0,设自变量分别取m-3,m+3 时对应的函数值为y
1
,y
2
,则
A.y
1
>0,y
2
>0
B.y
1
>0,y
2
<0
C.y
1
<0,y
2
>0
D.y
1
<0,y
2
<0
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已知:抛物线C
1
:y=x
2
。如图(1),平移抛物线C
1
得到抛物线C
2
,C
2
经过C
1
的顶点O和A(2,0),C
2
的对称轴分别交C
1
、C
2
于点B、D。
(1)求抛物线C
2
的解析式;
(2)探究四边形ODAB的形状并证明你的结论;
(3)如图(2),将抛物线C
2
向下平移m个单位(m>0)得抛物线C
3
,C
3
的顶点为G,与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点,点P(
)在直线MG上。问:当m为何值时,在抛物线C
3
上存在点Q,使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形?
题型:不详
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