解:(1)证明:∵∠EPF=45°,∴∠APE+∠FPC=180°-45°=135°。 而在△PFC中,由于PF为正方形ABCD的对角线,则∠PCF=45°, ∴∠CFP+∠FPC=180°-45°=135°。∴∠APE=∠CFP。 (2)①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°,∴△APE∽△CPF,∴。 而在正方形ABCD中,边长为4,AC为对角线,则。 又∵P为对称中心,∴AP=CP=。 ∴,即。 如图,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,
∵P为AC中点,则PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2。 ∴。 ∵阴影部分关于直线AC轴对称, ∴△APE与△APN也关于直线AC对称。∴。 ∵,∴。 ∴。 ∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°,∴2≤x≤4。 令,则。 ∴,当,即x=2时,y取得最大值,最大值为1。 ∴y关于x的函数解析式为:(2≤x≤4),y的最大值为1。 ②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,而此两块图形也关于直线AC成轴对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称, 则EB=BF,即AE=FC,∴=x,解得x=, 代入,得。 (1)利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论。 (2)本问关键是求出y与x之间的函数解析式。 ①首先分别用x表示出S1与S2,然后计算出y与x的函数解析式.它可转换为一个二次函数,应用二次函数最值原理求出其最大值。 ②根据中心对称、轴对称的几何性质,得AE=FC,据此列式求解。 |