如图,在平面直角坐标系中,等腰直角的斜边在轴上,顶点的坐标为,为斜边上的高.抛物线与直线交于点,点的横坐标为.点在轴的正半轴上,过点作轴.交射线于点.设点的横坐
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如图,在平面直角坐标系中,等腰直角的斜边在轴上,顶点的坐标为,为斜边上的高.抛物线与直线交于点,点的横坐标为.点在轴的正半轴上,过点作轴.交射线于点.设点的横坐
题型:不详
难度:
来源:
如图
,在平面直角坐标系中,等腰直角
的斜边
在
轴上,顶点
的坐标为
,
为斜边上的高.抛物线
与直线
交于点
,点
的横坐标为
.点
在
轴的正半轴上,过点
作
轴.交射线
于点
.设点
的横坐标为
,以
为顶点的四边形的面积为
.
(1)求
所在直线的解析式;
(2)求
的值;
(3)当
时,求
与
的函数关系式;
(4)如图
,设直线
交射线
于点
,交抛物线于点
.以
为一边,在
的右侧作矩形
,其中
.直接写出矩形
与
重叠部分为轴对称图形时
的取值范围.
答案
(1)
;(2)
;(3)当
时,
;当
时,S
(4)
或
或
.
解析
试题分析:(1)已知了A点的坐标,即可求出正比例函数直线OA的解析式;
(2)根据C点的横坐标以及直线OC的解析式,可确定C点坐标,将其代入抛物线的解析式中即可求出待定系数a的值;
(3)已知了A点的坐标,即可求出OD、AD的长,由于△OAB是等腰直角三角形,即可确定OB的长;欲求四边形ABDE的面积,需要分成两种情况考虑:
①0<m<3时,P点位于线段OD上,此时阴影部分的面积为△AOB、△ODE的面积差;
②m>3时,P点位于D点右侧,此时阴影部分的面积为△OBE、△OAD的面积差;
根据上述两种情况阴影部分的面积计算方法,可求出不同的自变量取值范围内,S、m的函数关系式;
(4)若矩形RQMN与△AOB重叠部分为轴对称图形,首先要找出其对称轴;
①由于直线OA的解析式为y=x,若设QM与OA的交点为H,那么∠QEH=45°,△QEH是等腰直角三角形;那么当四边形QRNM是正方形时,重合部分是轴对称图形,此时的对称轴为QN所在的直线;可得QR=RN,由此求出m的值;
②以QM、RN的中点所在直线为对称轴,此时AD所在直线与此对称轴重合,可得PD=
RN=
,由OP=OD-PD即可求出m的值;
③当P、D重合时,根据直线OC的解析式y=
x知:RD=
;此时R是AD的中点,由于RN∥x轴,且RN=
=
DB,所以N点恰好位于AB上,RN是△ABD的中位线,此时重合部分是等腰直角三角形REN,由于等腰直角三角形是轴对称图形,所以此种情况也符合题意,此时OP=OD=3,即m=3;
当R在AB上时,根据直线OC的解析式可用m表示出R的纵坐标,即可得到PR、PB的表达式,根据PR=PB即可求出m的值;
根据上述三种轴对称情况所得的m的值,及R在AB上时m的值,即可求得m的取值范围.
(1)设直线OA的解析式为y=kx,
则有:3k=3,k=1;
∴直线
的解析式为
;
(2)当x=6时,y=
x=3,
∴C(6,3);
将C(6,3)代入抛物线的解析式中,
得:36a+12=3,解得
;
(3)当
时,如图①,
=
;
当
时,如图②,
(4)
或
或
.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
举一反三
抛物线
交
轴于
两点,交
轴于点
,对称轴为直线
。且A、C两点的坐标分别为
,
.
(1)求抛物线
的解析式;
(2)在对称轴上是否存在一个点
,使
的周长最小.若存在,请求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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将抛物线
向左平移2个单位,所得抛物线的表达式为
.
题型:不详
难度:
|
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已知:直线
交x轴于点A,交y轴于点B,点C为x轴上一点,AC=1,且OC<OA.抛物线
经过点A、B、C.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点D的坐标为(-3,0),点P为线段AB上一点,当锐角∠PDO的正切值为
时,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,该抛物线上的一点E在x轴下方,当△ADE的面积等于四边形APCE的面积时,求点E的坐标.
题型:不详
难度:
|
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定义[
]为函数
的特征数, 下面给出特征数为 [2
m
,1 –
m
, –1–
m
] 的函数的一些结论: ( )
① 当
m
=" –" 3时,函数图象的顶点坐标是(
,
);
② 当
m
> 0时,函数图象截
x
轴所得的线段长度大于
;
③ 当
m
< 0时,函数在
x
>
时,
y
随
x
的增大而减小;
④ 当
m
¹ 0时,函数图象经过同一个点.
其中正确的结论有
A.①④
B.①③④
C. ①②④
D.①②③④
题型:不详
难度:
|
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如图,直角梯形OABC中,AB∥OC,O为坐标原点,点A在y轴正半轴上,点C在x轴正半轴上,点B坐标为(2,
),∠BCO=60°,OH⊥BC于点H.动点P从点H出发,沿线段HO向点O运动,动点Q从点O出发,沿线段OA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为t秒.
(1)求OH的长;
(2)若△OPQ的面积为S(平方单位).求S与t之间的函数关系式.并求t为何值时,△OPQ的面积最大,最大值是多少;
(3)设PQ与OB交于点M.①当△OPM为等腰三角形时,求(2)中S的值. ②探究线段OM长度的最大值是多少,直接写出结论.
题型:不详
难度:
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