如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点.(1)请求出抛物线顶点的坐标(用含的代数式表示),两点的坐标;(2)经探究可知,与的面积比不变,试求出这个比值;(3)是否

如图,抛物线与轴交于两点,与轴交于点.(1)请求出抛物线顶点的坐标(用含的代数式表示),两点的坐标;(2)经探究可知,与的面积比不变,试求出这个比值;(3)是否

题型:不详难度:来源:
如图,抛物线轴交于两点,与轴交于点.

(1)请求出抛物线顶点的坐标(用含的代数式表示),两点的坐标;
(2)经探究可知,的面积比不变,试求出这个比值;
(3)是否存在使为直角三角形的抛物线?若存在,请求出;如果不存在,请说明理由.
答案

解析

试题分析:(1)将抛物线的解析式化为顶点坐标式,即可得到顶点M的坐标;抛物线的解析式中,令y=0,可求得A、B的坐标.
(2)易求得C点坐标,即可得到OC的长,以AB为底,OC为高,即可求出△ABC的面积;△BCM的面积无法直接求得,可用割补法求解,过M作MD⊥x轴于D,根据B、C、M四点坐标,可分别求出梯形OCMD、△BDM的面积,它们的面积和减去△BOC的面积即为△BCM的面积,进而可得到△ABC、△BCM的面积比.
(3)首先根据B、C、M的坐标,求出BC2、BM2、CM2的值,由于△BCM中,B、C、M都有可能是直角顶点,所以要分三种情况讨论:①∠BCM=90°,②∠BMC=90°,③∠MBC=90°,在上述三种不同的直角三角形中,利用勾股定理可求得m的值,进而可确定抛物线的解析式.
(1)
抛物线顶点的坐标为(1,m)
抛物线轴交于两点,
时,

解得
两点的坐标为()、();
(2)当时,
的坐标为.
5分
过点轴于点,则



=
=
=3m

(3)存在使为直角三角形的抛物线.
过点于点,则


中,
中,
①如果,且那么

解得

存在抛物线使得
②如果,且那么

解得

存在抛物线,使得
③如果,且,那么

整理得此方程无解.
为直角的直角三角形不存在.
综上所述,存在抛物线
使得.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
举一反三
向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c(a≠0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹所在高度最高的是
A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒

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“一般的,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.——苏科版《数学》九年级(下册)P21”参考上述教材中的话,判断方程x2-2x=-2实数根的情况是
A.有三个实数根B.有两个实数根C.有一个实数根D.无实数根

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(1)求二次函数y=x2-4x+1图象的顶点坐标,并指出当x在何范围内取值时,y随x的增大而减小;
(2)若二次函数y=x2-4x+c的图象与坐标轴有2个交点,求字母c应满足的条件.
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抛物线的部分图象如图所示,若y>0,则的取值范围是(   )
A.B.
C.D.

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如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.

(1)求出抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上一动点,过PPMx轴,垂足为M,是否存在P点,使得以APM为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
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