在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A的坐标;(2

在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.(1)求点A的坐标;(2

题型:不详难度:来源:
在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.

(1)求点A的坐标;
(2)当∠ABC=45°时,求m的值;
(3)已知一次函数y=kx+b,点P(n,0)是x轴上的一个动点,在(2)的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数y=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象于N.若只有当﹣2<n<2时,点M位于点N的上方,求这个一次函数的解析式.==
答案
点A的坐标为(﹣1,0);m=1;y=﹣2x+1
解析

试题分析:
解:(1)∵点A、B是二次函数y=mx2+(m﹣3)x﹣3(m>0)的图象与x轴的交点,
∴令y=0,即mx2+(m﹣3)x﹣3=0
解得x1=﹣1,
又∵点A在点B左侧且m>0
∴点A的坐标为(﹣1,0)
(2)由(1)可知点B的坐标为
∵二次函数的图象与y轴交于点C
∴点C的坐标为(0,﹣3)
∵∠ABC=45°
∴m=1
(3)由(2)得,二次函数解析式为y=x2﹣2x﹣3
依题意并结合图象可知,一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为﹣2和2,
由此可得交点坐标为(﹣2,5)和(2,﹣3),将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+b中,
解得:∴一次函数解析式为y=﹣2x+1

点评:本题难度较大,主要考查学生对函数性质和图像特点等知识点的掌握。为中考常见题型,把两种函数性质综合分析与运算,学生要牢固掌握各项性质特点,并运用到考试中去。
举一反三
(1)已知方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1、x2,求证:x1+x2=-p,x1·x2=q.(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于点A、B,且过点(―1,―1),设线段AB的长为d,当p为何值时,d2取得最小值并求出该最小值.
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将抛物线向上平移3单位,得到的抛物线的解析式是____________.
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平移抛物线,使它经过原点,写出平移后抛物线的一个解析式_______
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如图,抛物线y=x2+bx-2与x轴交于A、B两点,与y 轴交于C点,且A(一1,0).

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)若将上述抛物线先向下平移3个单位,再向右平移2个单位,请直接写出平移后的抛物线的解析式.
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如图,当x=2时,抛物线取得最小值-1,并且与y轴交于点C(0,3),与x轴交于点A、B(A在B的右边)。

(1)求抛物线的解析式;
(2)D是线段AC的中点,E为线段AC上的一动点(不与A,C重合),过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F。问:是否存在△DEF与△AOC相似?若存在,求出点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△APD为等腰三角形?若存在,请直接写出点p的坐标;若不存在,请说明理由。
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