如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠A

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠A

题型:不详难度:来源:
如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),与y轴交于点C,点D在线段OC上,OD=t,点E在第二象限,∠ADE=90°,tan∠DAE=,EF⊥OD,垂足为F.

(1)求这个二次函数的解析式;
(2)求线段EF、OF的长(用含t的代数式表示);
(3)当△ECA为直角三角形时,求t的值.
答案
(1)y=﹣2x2+6x+8;(2)EF=t,OF=t﹣2;(3)或8
解析

试题分析:(1)由二次函数的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0)根据待定系数法求解;
(2)先根据同角的余角相等可得∠DEF=∠ODA,即可证得△EDF∽△DAO,根据相似三角形的性质可得,即可得到EF的长,同理可得DF的长,即可求得OF的长;
(3)先求的抛物线与y轴的交点C,即得OC的长,过E点作EM⊥x轴于点M,则在Rt△AEM中,EM=OF=t﹣2,AM=OA+AM=OA+EF=4+t,分当∠CEA=90°时,当∠ECA=90°时,两种情况,根据勾股定理列方程求解即可.
(1)二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A(4,0)、B(﹣1,0),
,解得
∴这个二次函数的解析式为:y=﹣2x2+6x+8;
(2)∵∠EFD=∠EDA=90°
∴∠DEF+∠EDF=90°,∠EDF+∠ODA=90°,
∴∠DEF=∠ODA
∴△EDF∽△DAO


=

∴EF=t.
同理
∴DF=2
∴OF=t﹣2.
(3)∵抛物线的解析式为:y=﹣2x2+6x+8,
∴C(0,8),OC=8.
如图,过E点作EM⊥x轴于点M

则在Rt△AEM中,EM=OF=t﹣2,AM=OA+AM=OA+EF=4+t,
当∠CEA=90°时,CE2+AE2=AC2

解得
当∠ECA=90°时,CE2+AC2=AE2

解得
即点D与点C重合.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
举一反三
抛物线与x轴的交点坐标是(-l,0)和(3,0),则此抛物线的对称轴是
A.直线x=-1B.直线x="0" C.直线x=1D.直线x= 3

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如图,已知△ABC中,AB=10cm,AC=8cm,BC=6cm.如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动,它们的速度均为2cm/s.连接PQ,设运动的时间为t(单位:s)(0≤t≤4).

(1)当t为何值时,PQ∥BC.
(2)设△AQP的面积为S(单位:cm2),当t为何值时,S取得最大值,并求出最大值.
(3)是否存在某时刻t,使线段PQ恰好把△ABC的面积平分?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
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如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限,点C的坐标为(-1,0).B点在抛物线的图象上,过点B作轴,垂足为D,且B点横坐标为

(1)求证:
(2)求BC所在直线的函数关系式;
(3)抛物线的对称轴上是否存在点P,使 △ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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二次函数的图象如图所示,在下列说法中:

0;②;③
④当时,随着的增大而增大.正确的说法个数是(    )
A.1B.2C.3D.4

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如图,抛物线与直线相交于O(0,0)和A(3,2)两点,则不等式的解集为          
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