如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B，最低点为M，且S

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B，最低点为M，且S_△AMB＝.

（1）求此抛物线的解析式，并说明这条抛物线是由抛物线y=ax²怎样平移得到的；
（2）如果点P由点A开始沿着射线AB以2cm/s的速度移动，同时点Q由点B开始沿BC边以1cm/s的速度向点C移动，当其中一点到达终点时运动结束；
①在运动过程中，P、Q两点间的距离是否存在最小值，如果存在，请求出它的最小值；
②当PQ取得最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是梯形? 如果存在，求出R点的坐标，如果不存在，请说明理由.

答案

（1）抛物线的解析式为是由抛物线向右1个单位长度，向下个单位长度得到的；（2）①；②R（，-）

解析

试题分析：（1）由题意可得抛物线的对称轴为，再根据△AMB的面积即可求得抛物线顶点的纵坐标，再设出顶点式，最后把A点的只能代入即可得到结果；
（2）①先求出关于时间t的函数关系式，根据二次函数的性质即可求得结果；②分AB∥QR与BR∥PQ两种情况，根据梯形的性质分析即可.
（1）由题意得抛物线的对称轴为
，
则抛物线顶点的纵坐标为
∴设抛物线解析式为
∵图象过点A（0，-2）
∴，
∴抛物线的解析式为
这条抛物线是由抛物线向右1个单位长度，向下个单位长度得到的；
（2）①PQ²=（2-2t）²+t²=5(t-)²+
存在，当t=时，最小值；
②1⁰当AB∥QR时
y=-时，(x-1)²-=-
x₁=或x₂=
当x₁=时，说明P、B、Q、R为顶点的四边形是梯形
当x₂=时，PBRQ为平行四边形，舍
2⁰当BR∥PQ时，与x₂=的情况相同，故此时不存在梯形
∴R（，-）.
点评：本题知识点较多，综合性强，难度较大，一般是中考压轴题，需要学生熟练掌握二次函数的性质的应用.