已知,如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.(1)求抛物线
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已知,如图抛物线y=ax2+3ax+c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.(1)求抛物线
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已知,如图抛物线y=ax
2
+3ax+c(a>0)与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点,A点在B点左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD的面积的最大值;
(3)若点E在x轴上,点P在抛物线上,是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)∴y=
x
2
+
x-3
(2)过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N.
∴S
四边形ABCD
=S
△ABC
+S
△ACD
=
+
·DM·(AN+ON)=
+2DM.
∵A(-4,0),C(0,-3),
设直线AC的解析式为y=kx+b,
代入求得:y=-
x-3,
令D
,M
,
则DM=-
x-3-
=-
(x+2)
2
+3.
当x=-2时,DM有最大值3,此时四边形ABCD面积有最大值
.
(3)如图①所示,讨论:①过点C作CP
1
∥x轴交抛物线于点P
1
,过点P
1
作P
1
E
1
∥AC交x轴于点E
1
,此时四边形ACP
1
E
1
为平行四边形,
∵C(0,-3),令
x
2
+
x-3=-3得x
1
=0,x
2
=-3,
∴CP
1
=3.∴P
1
(-3,-3).
②如图②,平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,
当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形,
∵C(0,-3),
∴可令P(x,3),由
x
2
+
x-3=3得:x
2
+3x-8=0,
解得x
1
=
或x
2
=
,
此时存在点P
2
和P
3
.
综上所述,存在3个点符合题意,坐标分别是P
1
(-3,-3),P
2
,P
3
.
解析
(1)先求出抛物线的对称轴,再由OC=3OB=3,a>0,即可求得C点坐标,由B(1,0)、C(0,-3)根据待定系数法即可求出函数解析式;
(2)过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。先表示出四边形ABCD的面积,再求出直线AC的函数解析式,即可表示出DM的长,根据二次函数的性质即可得到结果;
分情况讨论:①过点C作CP
1
∥x轴交抛物线于点P
1
,过点P
1
作P
1
E
1
∥AC交x轴于点E
1
,此时四边形ACP
1
E
1
为平行四边形,②如图②,平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形。
举一反三
已知二次函数
的
与
的部分对应值如下表:
…
0
1
3
…
…
1
3
1
…
则下列判断中正确的是
A.抛物线开口向上
B.抛物线与
轴交于负半轴
C.当X大于1.5时,Y随着X的增大而减小
D.当
=4时,
>0
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如图,已 知直线
交坐标轴于
两点,以线段
为边向上作正方形
,过点
的抛物线与直线另一个交点为
.
(1)请直接写出点
的坐标;
(2)求抛物线的解析式;
(3)若正方形以每秒
个单位长度的速度沿射线
下滑,直至顶点
落在x轴上时停止.设正方形落在
轴下方部分的面积为
,求
关于滑行时间
的函数关系式,并写出相应自变量
的取值范围;
(4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时停止,求抛物线上
两点间的抛物线弧所扫过的面积.
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已知二次函数y
1
=ax
2
+bx+c(a≠0)与一次函数y
2
=mx+n(m≠0)的图象相交于点A(―2,4),B(8,2),如图所示,则能使y
1
<y
2
成立的x的取值范围是
.
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如图,抛物线y=
x
2
+bx+c与y轴交于点C,与x轴相交于A,B两点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,―4).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点Q是线段OB上的动点,过点Q作QE//BC,交AC于点E,连接CQ,设OQ=m,当△CQE的面积最大时,求m的值,并写出点Q的坐标.
(3)若平行于x轴的动直线,与该抛物线交于点P,与直线BC交于点F,D的坐标为(-2,0),则是否存在这样的直线l,使OD=DF?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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