如图,在梯形纸片ABCD中,BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2,过点B作BH⊥AD与H,BC=BH=2.动点从点出发,以每秒1个单位的速度沿运动到点停
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如图,在梯形纸片ABCD中,BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2,过点B作BH⊥AD与H,BC=BH=2.动点从点出发,以每秒1个单位的速度沿运动到点停
题型:不详
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如图,在梯形纸片ABCD中,BC∥AD,∠A+∠D=90°,tanA=2,过点B作BH⊥AD与H,BC=BH=2.动点
从点
出发,以每秒1个单位的速度沿
运动到点
停止,在运动过程中,过点
作
交折线
于点
,将纸片沿直线
折叠,点
、
的对应点分别是点
、
。设
点运动的时间是
秒(
)。
(1)当点
和点
重合时,求运动时间
的值;
(2)在整个运动过程中,设
或四边形
与梯形
重叠部分面积为
,请直接写出
与
之间的函数关系式和相应自变量
的取值范围;
(3)平移线段
,交线段
于点
,交线段
。在直线
上存在点
,使
为等腰直角三角形。请求出线段
的所有可能的长度。
答案
解:(1)t+1,
△PMN的边长MN=CN-CM=CD+DN-CM=1+2t-t=t+1.
当点P落在AB上时,过P作PE⊥MN于E.则CE=CM+ME=t+
=
∴BE=6-
=
.∵等边△PMN,MN=t+1,
∴PE=PN·sin60°=MN·sin60°=
(
t+1).
在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=6.∴AC=BC·tan30°=
.
∵∠PEB=∠ACB=90°,∠PBE=∠ABC.∴△PBE∽△ABC,∴
=
.
即
=
,解得t=
(2)当0<t≤
时,△PMN在△ABC内部.
∴S=
×(
t+1)×
(
t+1)=
(
t+1)
2
点N从点D运动到与点B重合所需时间为:
=
(秒)
当
<t<
时,△PMN与△ABC重叠部分为四边形EFNM.
∵∠PNM=60°,∠ABC=30°,∴∠NFB=∠ABC=30°.∴NF=NB=6-(
2t+1)=5-
2t
∴PF=(
t+1)-(
5-
2t)=3t-4,∵∠NFB=30°,∴∠PFE=30°.
∵∠P=60°,∴∠PEF=90°,∴PE=
PF=
(
3t-4),EF=
PF=
(
3t-4).
∴S
△PEF
=
EF·PE=
(
3t-4)
2
∴S=S
△PMN
-S
△PEF
=
(
t+1)
2
-
(
3t-4)
2
=-
t
2
+
t-
.
当
≤t<6时,△PMN与△ABC重叠部分为△GMB.在Rt△GMB中,∠GBM=30°,MB=6-t.
∴GM=
MB=
(
6-t),GB=
MB=
(
6-t)
∴S=
GM·GB=
(
6-t)
2
当t≥6时,S=0.
(3)
解析
(1)综合运用梯形、直角三角形、轴对称的性质、三角形相似等知识,建立线段之间的等量关系;
(2)运用分类讨论的思想,找到重叠部分面积
与
之间的函数关系;
(3)分类讨论等腰三角形PGI的直角顶点.
举一反三
开口向下的抛物线
的对称轴经过点(-1,3),则m=
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已知抛物线y=ax
2
+4ax+m(a≠0)与x轴的交点为A(-1,0),B(x
2
,0)。
(1)直接写出一元二次方程ax
2
+4ax+m=0的两个根:x
1
=
, x
2
=
(2)原抛物线与y轴交于C点,CD∥x轴交抛物线于D点,求CD的值;
(3)若点E(1,y
1
),点F(-3,y
2
)在原抛物线上,你能比较出y
2
和y
1;
的大小吗?若能,请比较出大小,若不能,请说明理由。
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如图,已知二次函数y=ax
2
+bx+c的图象经过A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三点。
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)过点C的直线y=kx+b与这个二次函数的图象相交于点E(4,m),请求出△CBE的面积S的值。
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二次函数y = ax
2
+ bx +c的图象如图所示, 则下列结论正确的是 ( )
A.a>0,b<0,c>0
B. a<0,b<0,c>0
C.a<0,b>0,c<0
D. a<0,b>0,c>0
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如图,抛物线
经过点O(0,0),A(4,0),B(5,5),点C是y轴负半轴上一点,直线
经过B,C两点,且
.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求直线
的解析式;
(3) 过O,B两点作直线,如果P是直线OB上的一个动点,过点P作直线PQ平行于y轴,交抛物线于点Q。问:是否存在点P,使得以P,Q,B为顶点的三角形与△OBC相似?如果存在,请求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由。
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