(1)∵抛物线y=x2+bx+c与轴的两个交点分别为A(-1,0),B(3,0) ∴ ┄ 2分 解之,得 ┄ 3分 ∴所求抛物线的解析式为:y=x2-2x-3 ┄ 4分 (2)设点P的坐标为(x,y),由题意,得 S△ABC=×4×|y|=8 ┄ 5分 ∴|y|=4, ∴ y=±4 ┄ 6分 当y=4时, x2-2x-3=4 ∴ x1=1+, x2=1- ┄ 7分 当y=-4时,x2-2x-3=-4 ∴ x=1 ┄ 8分 ∴当P点的坐标分别为、、(1,-4)时,S△PAB="8." ┄ 9分 (3) 解法1: 在抛物线y=x2-2x-3的对称轴上存在点Q, 使得ΔQAC的周长最小. ┄ 10分 ∵AC长为定值,∴要使ΔQAC的周长最小,只需QA+QC最小. ∵点A关于对称轴x=1的对称点是B(3,0), 抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,-3) ∴由几何知识可知,Q是直线BC与对称轴x=1的交点 ┄ 11分 设直线BC的解析式为y=kx-3. ∵直线BC过点B(3,0) ∴ 3k-3=0 ∴ k=1. ∴直线BC的解析式为 y=x-3 ┄ 12分 ∴当x=1时,y=-2. ∴点Q的坐标为(1,-2). ┄ 13分 (3) 解法2: 在抛物线y=x2-2x-3的对称轴上存在点Q ,使得ΔQAC的周长最小. ┄ 10分 ∵AC长为定值,∴要使ΔQAC的周长最小,只需QA+QC最小 ∵点A关于对称轴x=1的对称点是B(3,0), 抛物线y=x2-2x-3与y轴交点C的坐标为(0,-3) ∴由几何知识可知,Q是直线BC与对称轴x=1的交点. ┄ 11分 ∵OC∥DQ, ∴ΔBDQ∽ΔBOC. ∴,即 . ┄ 12分 ∴DQ=2. ∴点Q的坐标为(1,-2). ┄ 13分 (1)已知了抛物线过B、C两点,而抛物线的解析式中也只有两个待定系数,因此可将B、C的坐标代入抛物线的解析式中,即可求出待定系数的值,也就得出了二次函数的解析式. (2)根据(1)中得出的抛物线的解析式,可求得A点的坐标,也就能得出AB的长.△PAB中,AB的长为定值,那么可根据△PAB的面积求出P到AB的距离,即P点纵坐标的绝对值,然后将其代入抛物线的解析式中(分正负两个值)即可求出P点的坐标. (3)本题的关键是找出Q点的位置,已知了B与A点关于抛物线的对称轴对称,因此只需连接BC,直线BC与对称轴的交点即为Q点.可根据B、C两点的坐标先求出直线BC的解析式,然后联立抛物线对称轴的解析式即可求出Q点的坐标. |