平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(-1，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形。(1)若抛物线

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平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为(0，3)、(-1，0)，将此平行四边形绕点0顺时针旋转90°，得到平行四边形。
(1)若抛物线过点C，A，，求此抛物线的解析式；
(2)求平行四边形ABOC和平行四边形重叠部分△的周长；
(3)点M是第一象限内抛物线上的一动点，间：点M在何处时△的面积最大?最大面积是多少?并求出此时点M的坐标。

答案

解：(1)∵平行四边形由旋转得到，且点A的坐标为(0，3)，点的坐标为(3，0)。所以抛物线过点C(-1，0)，A(0，3)， (3，0)设抛物线的解析式为，可得
解得
∴过点C，A，的抛物线的解析式为。
(2)因为AB∥CO，所以∠OAB=∠AOC=90°。
∴,又.
,∴又,
∴,又△ABO的周长为。
∴的周长为。
（3）连接OM，设M点的坐标为，

∵点M在抛物线上，∴。
∴
=
=
因为，所以当时，。△AMA’的面积有最大值
所以当点M的坐标为()时，△AMA’的面积有最大值，且最大值为。

解析

（1）由图形翻折性质可知点的坐标为(3，0)，把有关点的坐标代入抛物线解析式，求得待定系数，即可知抛物线解析式；
（2）相似三角形周长之比等于相似比；
（3）（3）求面积最大值，可把面积化为二次函数形式，然后求最大值。