已知:抛物线(a≠0)的顶点M的坐标为(1,-2)与y轴交于点C(0,),与x轴交于A、B两点(A在B的左边).(1)求此抛物线的表达式;(2)点P是线段OB上
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已知:抛物线(a≠0)的顶点M的坐标为(1,-2)与y轴交于点C(0,),与x轴交于A、B两点(A在B的左边).(1)求此抛物线的表达式;(2)点P是线段OB上
题型:不详
难度:
来源:
已知:抛物线
(a≠0)的顶点
M
的坐标为(1,-2)与
y
轴交于点
C
(0,
),与
x
轴交于
A
、
B
两点(
A
在
B
的左边).
(1)求此抛物线的表达式;
(2)点
P
是线段
OB
上一动点(不与点
B
重合),点
Q
在线段
BM
上移动且∠
MPQ
=45°,设线段
OP
=
x
,
MQ
=
1
,求
y
1
与
x
的函数关系式,并写出自变量
x
的取值范围;
(3)①在(2)的条件下是否存在点
P
,使△
PQB
是
PB
为底的等腰三角形,若存在试求点
Q
的坐标,若不存在说明理由;
②在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点
F
,使△
BMF
是等腰三角形,若存在直接写出所有满足条件的点
F
的坐标.
答案
(1)
(2)
(0≤
x
<3)(3)①存在,
Q
的坐标为(2,1)②
F
1
(1,0),
F
2
(1,
),
F
3
(1,
),
F
4
(1,2).
解析
解:(1)∵抛物线的顶点为
M
(1,﹣2)可设
,
由点(0,
)得:
∴
.
∴
即
. ……………………3分
(2)在
中由
y
=0得
解得:
,
∴
A
为(-1,0),
B
为(3,0) ……………………4分
∵
M
(1,-2)
∴∠
MBO
=45°,
MB
=
∴∠
MPQ
=45°
∠
MBO
=∠
MPQ
又∵∠
M
=∠
M
∴△
MPQ
∽△
MPB
……………………5分
∴
∴
即
∴
(0≤
x
<3).
…………………………7分(自变量取值范围1分)
(3)①存在点
Q
,使
QP
=
QB
,即△
PQB
是以
PB
为底的等腰三角形,作
PB
的垂直平分线交
BM
于
Q
,则
QP
=
QB
.
∴∠
QPB
=∠
MBP
=45°
又∵∠
MPQ
=45°,
∴此时
MP
⊥
x
轴
∴
P
为(1,0),
∴
PB
=2.
∴
Q
的坐标为(2,1). …………………………9分
②
F
1
(1,0),
F
2
(1,
),
F
3
(1,
),
F
4
(1,2).
………………………………11分
(1)设抛物线的表达式为y=a(x-1)
2
-2,将点C的坐标代入即可得出答案;
(2)先证明△MPQ∽△MPB,根据相似的性质列等式,求y
1
与x的函数关系式;
(3)①假设存在满足条件的P点,根据条件△PQB是PB为底的等腰三角形,作PB的垂直平分线交BM于Q,QP=QB.求出P点和Q点坐标;②根据△BMF是等腰三角形,只要点F使得该三角形的两边相等即可.
举一反三
今年我国多个省市遭受严重干旱,受旱灾的影响,4月份,我市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周每周的平均销售价格变化如下表:
周数x
1
2
3
4
价格y(元/千克)
2
2.2
2.4
2.6
(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x 的函数关系式;
(2)进入5月,由于本地蔬菜的上市,此种蔬菜的平均销售价格y(元/千克)从5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克,且y与周数x的变化情况满足二次函数y=- x
2
+bx+c. ,请求出5月份y与x的函数关系式
(3)若4月份此种蔬菜的进价m(元/千克)与周数x所满足的函数关系为m=x+1.2,5月份此种蔬
菜的进价m(元/千克)与周数x所满足的函数关系为m=
x+2.试问4月份与5月份分别在哪一周销
售此种蔬菜一千克的利润最大?且最大利润分别是多少?
题型:不详
难度:
|
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如图,在坐标系中,菱形ABCD的边BC与x轴重合,点B与原点重合,AB=10, ∠ABC=60°.动点P从点B出发沿BC边以每秒1个单位长的速度匀速运动;动点Q从点D出发沿折线DC-CB-BA以每秒3个单位长的速度匀速运动,过点P作PF⊥BC,交折线AB-AC于点E,交直线AD于点F.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达终点时整个运动随之停止,设运动时间为t秒.
(1)写出点A与点D的坐标
(2)当t=3秒时,试判断QE与AB之间的位置关系?
(3)当Q在线段DC上运动时,若△PQF为等腰三角形,求t的值;
(4)设△PQE的面积为S,求S与t的函数关系式;
题型:不详
难度:
|
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如图所示,抛物线
m
:
y
=
ax
2
+
b
(
a
<0,
b
>0)与
x
轴于点
A
、
B
(点
A
在点
B
的左侧),与
y
轴交于点
C
.将抛物线
m
绕点
B
旋转180°,得到新的抛物线
n
,它的顶点为
C
1,
与
x
轴的另一个交点为
A
1
.
(1)当
a
=-1,
b
=1时,求抛物线
n
的解析式;
(2)四边形
AC
1
A
1
C
是什么特殊四边形,请写出结果并说明理由;
(3)若四边形
AC
1
A
1
C
为矩形,请求出
a
,
b
应满足的关系式.
题型:不详
难度:
|
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如图,抛物线y=ax
2
与反比例函数
的图象交于P点,若P点横坐标为1,则关于x的不等式
>0的解是( )
A.x>1
B.x<-1
C.-1<x<0
D.0<x<1
题型:不详
难度:
|
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正方形A
1
B
1
C
1
C
0
,A
2
B
2
C
2
C
1
,A
3
B
3
C
3
C
2
,…按如图所示的方式放置.点A
1
,A
2
,A
3
,…和点C
0
,C
1
,C
2
,C
3
,…分别在抛物线y=ax
2
(a>0)和x轴上,已知B
1
(3,1),B
2
(
,
),则a=
,B
n
的坐标为
. (根据2009年山东省中考题改编)
题型:不详
难度:
|
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