在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点(-1,0)、(3,0)，与轴的正半轴交于点，顶点为.小题1:求抛物线解析式及顶点的坐标；小题2:如图，过点E作BC平行

题型：不详难度：来源：

在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点(-1,0)、(3,0)，与轴的正半轴交于点，顶点为.

小题1:求抛物线解析式及顶点的坐标；
小题2:如图，过点E作BC平行线，交轴于点F，在不添加线和字母情况下，图中面积相等的三角形有：             ．
小题3:将抛物线向下平移，与轴交于点M、N，与轴的正半轴交于点P，顶点为Q.在四边形MNQP中满足S_△NPQ = S_△MNP，求此时直线PN的解析式

答案

小题1:将(-1,0)、(3,0)代入的得到，，
∴抛物线的解析式为，即.
∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）．-------------------------3分
小题2:△BCF与△BCE               -------------------------1分
小题3:将抛物线向下平移，则顶点Q在对称轴上，有，------1分
∴ 抛物线的解析式为（）．
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，顶点为．
∵ 方程的两个根为，，
∴ 此时，抛物线与轴的交点为，．
如图，过点Q作QG∥PN与轴交于点G，连接NG，则S_△PNG= S_△PNQ．
∵ S_△NPQ = S_△MNP,
∴S_△MNP = S_△PNG．              -------------------------1分

∴ ．
设对称轴与轴交于点，
则．
由QG∥PN，得．
∴ Rt△QDG ∽ Rt△PON．有．
∴ ．结合题意，解得 ．
∴ 点，．
设直线PN的解析式为y=mx+n，将P， N两点代入，得到
直线PN的解析式为 ； --------3分

解析

（1）把A、B两点的坐标代入到抛物线方程中，求出它的解析式；
（2）  利用同底等高的两个三角形面积相等这个性质；
过Q点作QG∥PN与X轴交于点G，连接NG,利用等量代换推出S_△MNP = S_△PNG．得出DG的长，利用Rt△QDG ∽ Rt△PON求出P、N两点的坐标，根据两点式求出直线PN的解析式。