如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．已知x1

题型：不详难度：来源：

如图，抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，与y轴交于C点，对称轴与抛物线相交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB．已知x₁、x₂
恰是方程的两根，且sin∠OBC＝.

小题1:求该抛物线的解析式；
小题2:抛物线上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由
小题3:在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

答案

小题1:由已知，可求：OA＝1，OB＝3，OC＝3.
设抛物线的函数关系式为y＝a（x＋1）（a－3）.      
∵抛物线与y轴交于点C（0，3），
∴3＝a×1×（－3），
解得：a＝－1.
所以二次函数式为y=－x²＋2x＋3.…………………………（3分）
小题2:由y＝－x²＋2x＋3＝－（x－1）²＋4，
则顶点P（1，4）.共分两种情况：
 
①由B、C两点坐标可知，直线BC解析式为y＝－x＋3.
设过点P与直线BC平行的直线为：y＝－x＋b，
将点P（1，4）代入，得y＝－x＋5.
则直线BC代入抛物线解析式是否有解，有则存在点Q，
－x²＋2x＋3＝－x＋5，
解得x＝1或x＝2.
代入直线则得点（1，4）或（2，3）.
已知点P（1，4），
所以点Q（2，3）.…………（6分）
②由对称轴及直线BC解析式可知M（1，2），PM＝2，
设过P′（1，0）且与BC平行的直线为y＝－x＋c，
将P′代入，得y＝－x＋1.
联立，
解得或.
∴Q（2，3）或Q（，）或Q（，）.
………………………………………………（10分）
小题3:由题意求得直线BC代入x＝1，

则y＝2.
∴M（1，2）.由点M，P的坐标可知：
点R存在，即过点M平行于x轴的直线，
则代入y＝2，x²－2x－1＝0，
解得x₁＝1－（在对称轴的左侧，舍去），
x₂=，
即点R（，2）．…………………（13分）

解析

（1）利用抛物线与两轴的交点坐标求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形面积相等就是同底等高，分两种情况讨论；
（3）与（2）相同。