(9分)如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C. (1)求抛物线的解析式; (2)若在第三象限的抛物线上存在点
题型:不详难度:来源:
(9分)如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073630-41266.png) (1)求抛物线的解析式; (2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形, 求点P的坐标; (3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形 为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. |
答案
(1) y=x2+2x-3 (2) P(-1,-4) (3) Q(-2,-3) |
解析
分析:(1)抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),把两点代入联立解方程组求得a、b. (2)令y=0,得x2+2x-3=0,可以解得C点坐标,过点P作PD⊥y轴,垂足为D,可证PD=BD,进而求出P点坐标. (3)由(2)知,BC⊥BP当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上,若BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,可求出直线PQ的解析式,直线与抛物线联立,求得P坐标. 解答:![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073631-62236.png) 解:(1)把A(1,0),B(0,-3)代入y=x2+bx-3a, 得 , 解得 , ∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3; (2)过点P作PD⊥y轴,垂足为D, 令y=0,得x2+2x-3=0, 解得x1=-3,x2=1, ∴点C(-3,0), ∵B(0,-3), ∴△BOC为等腰直角三角形, ∴∠CBO=45°, ∵PB⊥BC, ∴∠PBD=45°, ∴PD=BD. ∴可设点P(x,-3+x), 则有-3+x=x2+2x-3, ∴x=-1, ∴P点坐标为(-1,-4); (3)由(2)知,BC⊥BP, (i)当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上; (ii)当BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时, ∵B(0,-3),C(-3,0), ∴直线BC的解析式为y=-x-3, ∵直线PQ∥BC, ∴直线PQ的解析式为y=-x+b, 又P(-1,-4), ∴PQ的解析式为:y=-x-5, 联立方程组得 , 解得x1=-1,x2=-2, ∴x=-2,y=-3, 即点Q(-2,-3), ∴符合条件的点Q的坐标为(-2,-3). |
举一反三
抛物线 的顶点坐标为( ) |
如图,在 中,∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,动点P从点A出发,以每秒1cm的速度,沿A B C的方向运动,到达点C时停止.设 ,运动时间为t秒,则能反映y与t之间函数关系的大致图象是( )
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073618-11938.png)
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073618-42194.png) |
.二次函数y=( x-1)2+1的图象的顶点坐标是 . |
长方形的周长为24cm,其中一边为 (其中 ),面积为![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073611-83316.png) ,则这样的长方形中 与 的关系可以写为 。 |
下列图形中,阴影部分的面积为2的有( ▲ )个
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073607-46416.png) |
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