(1)由于直线经过B、C两点,令y=0得=3;令=0,得y=3 ∴B(3,0),C(0,3) ……1分 ∵点B、C在抛物线上,于是得 ……2分 解得b=2,c="3 " ……3分 ∴所求函数关系式为 ……4分 (2)①∵点P(,y)在抛物线上,且PN⊥x轴,
∴设点P的坐标为(, ) ……5分 同理可设点N的坐标为(,) ……6分 又点P在第一象限, ∴PN=PM-NM =()-() = = ……7分 ∴当时, 线段PN的长度的最大值为. ……8分 ②解法一: 由题意知,点P在线段BC的垂直平分线上,又由①知,OB=OC
∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线, ∴设点P的坐标为 又点P在抛物线上,于是有∴…9分 解得 ……10分 ∴点P的坐标为:或 …11分 若点P的坐标为 ,此时点P在第一象限,在Rt△OMP和Rt△BOC中, ,OB=OC=3
若点P的坐标为 , 此时点P在第三象限, 则
……13分 解法二:由题意知,点P在线段BC的垂直平分线上, 又由①知,OB=OC ∴BC的中垂线同时也是∠BOC的平分线, ∴设点P的坐标为 又点P在抛物线上,于是有 ∴ ……9分 解得 ……10分 ∴点P的坐标为: 或 …11分 若点P的坐标为 ,此时点P在第一象限,在Rt△OMP和Rt△BOC中, ,OB=OC=3
若点P的坐标为 , 此时点P在第三象限,(与解法一相同)……13分 当点P在第一象限时,△BPC面积其它解法有: ①,BC=
②
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