(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)经过A(3,0),B(4,1)两点, ∴, 解得, ∴抛物线的关系式为y=x2-x+3;
(2)过点D作DF⊥AC于F, 令y=0,则x2-x+3=0, 整理得,x2-5x+6=0, 解得x1=2,x2=3, ∴点D坐标为(2,0),AD=1, 令x=0,则y=3, ∴点C坐标为(0,3), ∴OC=OA=3, ∴△OAC是等腰直角三角形, ∴AC===3, AF=DF=×AD=, ∴CF=AC-AF=3-=, ∴==, ∵∠ACD+∠ACP=45°, ∴设G(15,0), 则==, CG与抛物线的交点为点P, 设直线CG的解析式为y=kx+b, 则, 解得, ∴y=-x+3, 联立, 解得,(为点C坐标,舍去), ∴点P坐标为(,);
(3)①∵A(3,0),B(4,1), ∴直线AB与x轴的夹角为45°, ∴∠OAF=45°, ∴∠OAF=∠OCE=45°, ∵四边形OEAF是圆内接四边形, ∴∠OEC=∠OFA, 在△OCE和△OAF中, | ∠OAF=∠OCE=45° | ∠OEC=∠OFA | OA=OC=3 |
| | , ∴△OCE≌△OAF(AAS), ∴S△OCE=S△OAF, ∴四边形OEAF的面积=△OAC的面积=×3×3=;
②∵EF分四边形OEAF的面积为1:2两部分, ∴△OEF的面积为:×=或×=3, ∵OA=OC,∠AOC=90°, ∴△OEF是等腰直角三角形, ∴OE=OF, ∴OE•OF=OE2=或3, ∴OE2=3或OE2=6, 易求直线AC的解析式为y=-x+3, 设出点E的坐标为(a,-a+3), 则OE2=a2+(-a+3)2=2a2-6a+9, (i)OE2=3时,2a2-6a+9=3, 整理得,a2-3a+3=0, △=(-3)2-4×1×3=-3<0, 此时方程无解; (ii)OE2=6时,2a2-6a+9=6, 整理得,2a2-6a+3=0, 解得a==, -a+3=-+3=, 或-a+3=-+3=, ∴点E(,)或(,). |