已知抛物线的函数关系式为：y=x2+2（a-1）x+a2-2a（a＜0），（1）若点P（-1，8）在此抛物线上．①求a的值；②设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为

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已知抛物线的函数关系式为：y=x²+2（a-1）x+a²-2a（a＜0），
（1）若点P（-1，8）在此抛物线上．
①求a的值；
②设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，O为坐标原点，∠ABO=α，求sinα的值；
（2）设此抛物线与x轴交于点C（x₁，0）、D（x₂，0），x₁，x₂满足a（x₁+x₂）+2x₁x₂＜3，且抛物线的对称轴在直线x=2的右侧，求a的取值范围．

答案

（1）①由题设：1-2（a-1）+a²-2a=8，
解得：a=-1或a=5（舍去）．
②y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴A（2，-1），B（0，3）．
过A作y轴的垂线，垂足为H，则∠ABO=∠ABH=α．
在Rt△AHB中，AH=2，BH=4，
∴AB=2

，sinα=

；

（2）由题设x₁，x₂是方程x²+2（a-1）x+a²-2a=0的两根，
∴

x1+x2=2(1-a)

x1x2=a2-2a

∵a（x₁+x₂）+2x₁x₂＜3，
∴2a（1-a）+2（a²-2a）＜3，解得a＞-

；
又抛物线的对称轴方程是x=1-a，
∴1-a＞2，
即a＜-1．
综上所述：a的取值范围是-

＜a＜-1．

举一反三

用“♥”定义一种新运算：对于任意实数m，n和抛物线y=-ax²，当y=ax²♥（m，n）后都可以得到y=a（x-m）²+n．例如：当y=2x²♥（3，4）后都可以得到y=2（x-3）²+4．若函数y=x²♥（1，n）得到的函数如图所示，则n=______．

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取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）所示；
第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）所示；
第三步：沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）所示；利用展开图（4）所示．

探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论．
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由．
（3）如图（5），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达式为y=kx-k （k＜0）
①问：EF与抛物线y=-

x2 有几个公共点？
②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x，y），求

的值．

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如图1，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D，AD与BC相交于E点，已知：A（-2，-6），C（1，-3），一抛物线经过A，E，C三点．
（1）求点E的坐标及此抛物线的表达式；
（2）如图2，如果AB位置不变，将DC向右平移k（k＞0）个单位，求△AEC的面积S关于k的函数表达式；
（3）在第（2）问中，是否存在k的值，使AD⊥BC？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

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如图，已知二次函数y=ax²+bx的图象开口向下，与x轴的一个交点为B，顶点A在直线y=x上，O为坐标原点．
（1）证明：△AOB是等腰直角三角形；
（2）若△AOB的外接圆C的半径为1，求该二次函数的解析式；
（3）对题（2）中所求出的二次函数，在其图象上是否存在点P（点P与点A不重合），使得△POC是以PC为腰的等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

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如图所示的抛物线是二次函数y=ax²-（a²-1）x+1的图象，那么a的值是______．

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