已知:m是非负数,抛物线y=x2-2(m+1)x-(m+3)的顶点Q在直线y=-2x-2上,且和x轴交于点A、B(点A在点B的左侧).(1)求A、B、Q三点的坐
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已知:m是非负数,抛物线y=x2-2(m+1)x-(m+3)的顶点Q在直线y=-2x-2上,且和x轴交于点A、B(点A在点B的左侧). (1)求A、B、Q三点的坐标. (2)如果点P的坐标为(1,1).求证:PA和直线y=-2x-2垂直. (3)点M(x,1)在抛物线上,判断∠AMB和∠BAQ的大小关系,并说明理由. |
答案
(1)设抛物线的顶点Q的坐标是(x,y), 则x=-=m+1,y==-m2-3m-4; ∵点Q(m+1,-m2-3m-4)在直线y=-2x-2上, ∴-m2-3m-4=-2(m+1)-2, 解得m1=0,m2=-1; ∵m是非负数,舍去m2=-1, ∴m=0; ∵抛物线解析式为y=x2-2x-3,令y=0, ∴得x2-2x-3=0, 解得x1=-1,x2=3, ∴A(-1,0),B(3,0),Q(1,-4);
(2)如图,∵抛物线的对称轴是直线x=1, ∴P点在对称轴上, ∴PQ=|1-(-4)|=5; 把A(-1,0)代入y=-2x-2,-2x(-1)-2=0成立, ∴A点在直线y=-2x-2上; 设PQ交x轴于点D,则PQ⊥AB; 在Rt△ADQ中,AQ2=AD2+QD2=20, 在Rt△APD中,AP2=AD2+PD2=5, ∴AQ2+AP2=20+5=25=PQ2; ∴△PAQ是直角三角形,∠PAQ=90°; ∴PA⊥AQ, ∴PA和直线y=-2x-2垂直;
(3)答:∠AMB=∠BAQ; 解法一: M(x,1)在抛物线y=x2-2x-3上, ∴1=x2-2x-3, 解得x=1±, ∴点M的坐标为(1+,1),PM=|1+-1|=, ∴PA=PM=PB=; 于是点A、M、B都在以点P为圆心,为半径的圆上,如图, ∵AQ⊥AP, ∴AQ是⊙P的切线, ∴∠BAQ=∠AMB; 当x=1-时,点M的坐标为(1-,1); 同理可得∠BAQ=∠AMB.(15分) 解法二;当x=1+时,作ME⊥x轴于点E,如图,则点E的坐标为(1+,0); 于是ME=1,EA=1++1=2+, AM===, 连接BM,作BF⊥AM于F,AB=|3-(-1)|=4, 则S△ABM=ME•AB=AM•BF ∴1×4=•BF ∴BF= 在△MBE中,∠MEB=90°, BM=== 在△BFM中,∠BFM=90°, sin∠BMF==== 在△DAQ中,∠ADQ=90°, ∵sin∠DAQ==, ∴sin∠BMF=sin∠DAQ 而∠BMF、∠DAQ都是锐角, ∴∠BMF=∠DAQ,即∠AMB=∠BAQ; 当x=1-时,同解法一. |
举一反三
如图,一位运动员在距篮下4.5米处跳起投篮,篮球运行的路线是抛物线,当球运行的水平距离为2.5米时,达到最高度3.5米,篮筐中心到地面距离为3.05米,建立坐标系如图.该运动员身高1.8米,在这次跳投中,球在头顶上方0.25米处出手,他跳离地面的高度为0.2米,问这次投篮是否命中,为什么?若不命中,他应向前(或向后)移动几米才能使球准确命中?
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已知抛物线的函数关系式为:y=x2+2(a-1)x+a2-2a(a<0), (1)若点P(-1,8)在此抛物线上. ①求a的值; ②设抛物线的顶点为A,与y轴的交点为B,O为坐标原点,∠ABO=α,求sinα的值; (2)设此抛物线与x轴交于点C(x1,0)、D(x2,0),x1,x2满足a(x1+x2)+2x1x2<3,且抛物线的对称轴在直线x=2的右侧,求a的取值范围. |
用“♥”定义一种新运算:对于任意实数m,n和抛物线y=-ax2,当y=ax2♥(m,n)后都可以得到y=a(x-m)2+n.例如:当y=2x2♥(3,4)后都可以得到y=2(x-3)2+4.若函数y=x2♥(1,n)得到的函数如图所示,则n=______.
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取一张矩形的纸进行折叠,具体操作过程如下: 第一步:先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图(1)所示; 第二步:再把B点叠在折痕线MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为B′,得Rt△AB′E,如图(2)所示; 第三步:沿EB′线折叠得折痕EF,如图(3)所示;利用展开图(4)所示.
探究: (1)△AEF是什么三角形?证明你的结论. (2)对于任一矩形,按照上述方法是否都能折出这种三角形?请说明理由. (3)如图(5),将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点A落在DC边上的点A′处,x轴垂直平分DA,直线EF的表达式为y=kx-k (k<0) ①问:EF与抛物线y=-x2 有几个公共点? ②当EF与抛物线只有一个公共点时,设A′(x,y),求 的值. |
如图1,在平面直角坐标系中,AB、CD都垂直于x轴,垂足分别为B、D,AD与BC相交于E点,已知:A(-2,-6),C(1,-3),一抛物线经过A,E,C三点. (1)求点E的坐标及此抛物线的表达式; (2)如图2,如果AB位置不变,将DC向右平移k(k>0)个单位,求△AEC的面积S关于k的函数表达式; (3)在第(2)问中,是否存在k的值,使AD⊥BC?如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
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